[수학의 기준] 개념을 효과적으로 공부하는 방법
개념을
통해 무엇을 배워야 할까?
안녕하세요, '수학의 기준'의 백경린(Dost)입니다.
지난 칼럼에 이어 이번에는 개념을 공부하는 방법에 대해 좀 더 자세히 다뤄보고자
합니다.
수학공부에
관한 상담을 하다보면 이런 하소연을 하는 학생들을 종종 만나게 됩니다.
'수학을
잘하려면 무엇보다 개념을 정확히 이해하고 증명까지 할 줄 알아야 한다는 얘기를 듣고,
교과서의
모든 개념들을 증명까지 완벽하게 독파하였습니다.
그런데,
시험
성적에는 별다른 변화가 없습니다.
대체
무엇이 문제인가요?’
1.
개념에
사용된 논리는 무엇인가!
문제는
어떤 개념에 대한 증명 과정을 이해하고 직접 설명까지 할 수 있더라도 거기에 쓰이고 있는 논리가 무엇인지를 파악하지 못했다면 실전에서는 거의
쓸모가 없다는 사실입니다.
(학기
초이니 가능한 한 쉬운 예를 들어 보겠습니다.)
가령,
등차수열
{an}의
일반항이
an=a1+(n-1)d
(a1:첫째항,
d:공차)
임은
누구나 쉽게 증명할 수 있는 내용입니다.
하지만,
위와
같은 공식을 증명하고 이해했다고 해서 등차수열에 관한 문제들을 쉽게 해결할 수 있는 것은 아닙니다.
실제로
변별력을 가지는 문제들을 해결하는데 사용되는 것은 단순한 증명 과정이 아니라 그 안에 담겨 있는 논리이기 때문이지요.
등차수열의
일반항에 담겨 있는 논리란 임의의 n번째
항을‘결정하는
요소’가
무엇인가로 요약될 수 있습니다.
물론
그 결정요소는 일반항의 표현에 나타나 있듯이‘첫째항과
공차’입니다.
즉,
3, 5, 7, 9, 11, …
과
같은 수열의 100번째
항을 알고 싶다면
3+2·0,
3+2·1,
3+2·2,
3+2·3,
3+2·4,
…
과
같이 각 항을 결정하는 요소로 나타내는 것이 훨씬 효과적이라는 얘기입니다.
∴ a100= 3+2·99
2.
그
논리는 얼마나 효율적이며 보편적인가!
사실
어떤 대상을 그것의 결정요소로 표현하는 것은 수열뿐만 아니라
다른
수학적인 개념에서도 공통적으로 확인할 수 있는 논리입니다.
이것은
많은 개념들을 이해하는데 그다지 많은 논리가 필요하지 않다는 뜻이기도 합니다.
그렇다면
별로 대단할 것도 없어 보이는(?)
위와
같은 논리가 변별력 있는 문제를 해결하는데 얼마나 효과가 있을까요..
2011학년도
수능 (오답률
50%)
2이상의
자연수 n에
대하여 집합 {3(2k-1)
|
k는
자연수,
1≤k≤n}의
서로 다른 두 원소를 곱하여 나올 수 있는 모든 값만을 원소로 하는 집합을 S라
하고,
S의
원소의 개수를 f(n)이라
하자.
예를
들어,
f(4)=5이다.
이때,
f(2)+f(3)+…+f(11)의
값을 구하시오.
[4점]
Sol》우선,
3(2k-1)꼴의
서로 다른 두 원소를 곱하여 나올 수 있는 값은 서로 다른 지수의 값들(2k-1)의
합과 같습니다.
(예)
31×33=31+3)
이때, 예시로 주어진
f(4)의
값이 왜 5가
되는지 분석해 봅시다.
f(n)의
규칙성이 존재한다면 f(4)일
때의 규칙성이 f(2),
f(3), …,
f(11)일
때도 동일하게 적용되고 있을 테니까요.
(주어진
예시를 이용하여 규칙성을 추론하는 것은 실수를 미연에 방지할 수 있는 좋은 수단이기도 합니다.)
n=4일
때,
3(2k-1)꼴에서
지수의 값만 적어보면
1, 3, 5, 7
인데,
여기서
서로 다른 두 원소를 더하여 나올 수 있는 결과가 5가지임을
효율적이고 정확하게 확인하는 방법은 무엇일까요?
또,
그 방법을 n이
다른 값을 가질 때도 일반적으로 확장시킬 수 있을까요?
그 길이 잘 보이지
않는다면,
앞서
설명한대로 첫째항이
1이고
공차가 2인
등차수열
{2k-1}을
그 결정요소로 나타내 봅시다.
즉,
1+2·0,
1+2·1,
1+2·2,
1+2·3
이므로,
여기서
서로 다른 두 원소를 택하여 더하게 되면
2+2·(0+1),
2+2·(0+2),
…,
2+2·(2+3)
공차가
항상
2이고
항의 개수가‘(2+3)’인
등차수열이 만들어진다는 것을 정확히 확인할 수 있습니다.
같은
방식으로 n=m이면
2+2·(0+1),
2+2·(0+2),
…,
2+2·(m-2 + m-1)
이므로
공차가 항상 2이고
항의 개수가‘(2m-3)’인
등차수열이 만들어지게 됩니다.
∴ f(m)=2m-3
따라서
구하는 값은 1부터
연속된 10개의
홀수의 합을 나타냅니다.
∴ f(2)+f(3)+…+f(11)=102
문제의
난이도가 높아질수록 개념 속에 담겨 있는 논리들을 이용하는 것이 얼마나 효과적인지 더욱 확실히 체감할 수 있습니다.
아무리
많은 지식과 유형을 익혀도 자신의 실력이 늘고 있다는 느낌을 받지 못한다면, 다시 개념으로 돌아가 증명 과정이나 결론 속에 담겨 있는 실제적인
논리가 무엇인지를 잘 파악해 보시기 바랍니다.
그리고
다양한 문제를 통해 자신이 이해한 논리가 얼마나 효율적이며 보편적으로 사용될 수 있는지를 꼭 확인해 보아야 합니다.
이렇게
자신의 논리를 다듬어가다 보면 어느새 전혀 다른 수준에서 문제를 이해하고 해결하는 자신을 발견하게 될 것입니다!
~ 읽어주셔서 감사합니다 ~
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
오늘의 썰 2
한강에서 지인 만나서 놀고 또 늦게까지 놀다가 파하고 9호선 탔는데 술 취하면...
-
시바 뭔 10만원이 넘냐
-
텔그 진짜 뭐지 0
만점자들 대거 인설의 이상 빨간불 물1 했으면 가차없이 1% 입갤 아무리 시험이...
-
존내많네
-
갠적으로 생명은 0
방대한 양과 암기투성이 과목으로 시험진행하는게 맞다고 봄... 물론 논리를 요구하는...
-
너의 이름은, 너에게 닿기를 같은 느낌이요 순정 아련 로맨스
-
그걸 한 시험지에 냈다고..? 등골이 오싹해짐
-
김기철t 커리 탄 사람입니다. 조정식t tdyd가 평가원느낌 난다고 해서 풀...
-
ㄹㅇ 4시간동안 30문제 간당간당하게 푸는듯…
-
깊은 밤 하늘에 빛이 되어 노래할거야 날아올라 봉하산 가득 안고 싶어요 이렇게 멋진...
-
이유가 멀까
-
기출 다 끝내고 실모 들어가려고 하는데 임정환t 하트 모의고사랑 윤성훈t...
-
겪어보신적 있나요 .. 지금 제 상황인데 15년 키운 반려묘가 무지개 다리를...
-
생각해보니까 여기 아니면 불안함을 해소할 수 있는 장소가 마땅히 없다는 것을...
-
드릴 설맞이 품 인강컨 희망
-
자고 일어낫는데 1
무슨 아무일도 없엇던것처럼 기분 조아짐 ㅎㅎ
-
이타다키마~~~쓰!!
-
전 이형기 낙화 첫소절부터 문장 하나하나가 너무 이쁜듯
-
음악은좋네 7
언젠간풀콤할수잇을까
-
우는 모습도이쁨 7
-
지역: 서울시, 과천시, 성남시 과목: 수학 (미적, 확통), 물리학1 - 2022...
-
고1인데 영어 미니모의고사좀 추천해주세요..!
-
새벽TMI 주의) 내가 과몰입하면서 재밋게 본 웹툰 23
아메리카노 엑소더스, 천년구미호, 쿠베라, 이영싫, 소녀더와일즈, 갓오하, 전독시...
-
수학문제 1
요문제 어떻게 시작해야 할지를 모르겟네용 X에 0이랑 1만 넣어봤고 다음을 모르겟어용
-
물1풀어본사람난이도어느정도임?계속30점대나와서개빡침ㄹㅇ시간안에못풀겠다곡.하수능때도시간부족하면우짬
-
수능까지 어삼쉬사랑 수능기출3점만 달달히 복습하고 외우면 수능때 몇 뜨나요?? 저...
-
수학: 파데+킥오프로 개념 완벽하게 해놓기문학: 강기본 문학 수강비문학: 수국김...
-
국어 만점 아니라 죄송... 근데 충분히 보기 정도 줄 만한 문제 아니었냐? 보통...
-
물리 실모 추천 좀 해주실수있나욥 대성마이맥 캐쉬가 8만원 정도 남아서 그걸로...
-
오늘 자신감 바닥이네요
-
임의의양수입실론에대해그에종속되는델타가항상존재하므로참 QED
-
작년의 저처럼 간절한분들이 많이보이네요 꼭 후배로 만납시다
-
내가 가는 길이 곧 정답이다 개가 짖어도 기차는 달린다 Show and Prove...
-
저는 가문비나무 이 사진에 보이는 나무들이 전부 다 가문비나무임 크리스마스 트리도 가문비나무..
-
회계학과나 경영학과에서 수능 수학이 필요한가요??
-
연락와라
-
요즘 네웹 많이 안보네 18
옛날엔 진짜 많이 봤었는데 재밌던거 다 완결하고 내가 새로운 시도를 잘 안하는...
-
두 시즌만 사보려는데 ,, 2 4 사는거 어떨까요
-
식 깔끔하게 쓰고 조건 체크하고 이런거 중요함? 수학 잘하는 친구들은 그냥...
-
..
-
주희지문 이거 뭐냐 ㅅㅂ 글읽는데 진짜 이해 존나안되네 근데 신기한게 문제는 또 쉽게풀림..
-
수능날 화장실 4
수능날 화장실에가서 수능을 망치는것보단 차라리 2주금식을하는게 좋지 않을까요?
-
안녕하세요 정시파이터입니다. 지금은 중간고사 시즌 학교에서 열심히 수능공부를 하고...
-
다들 목표 적고가보자 17
난 인서울약대 이상!! 그리고 국어 1등급제발
-
뭐 하기로 하고 계획세우면 그 순간에는 감정 올라오면서 거창한계획 ㅈㄴ세우고 또...
-
미적반수러에요! 제가 지금 수학 성적을 많이 올려야 하는 상황입니다… 수능때 2가...
-
그냥 글 잘 보고 이해해서 선지 가려내는 게 기본이죠 그래서 1) 글 잘 보기 2)...
-
이감 6-3 3
79m/ 92점/ 10, 21, 32 틀릴만한건 21, 10정도였고 32는 걍...
잘 읽었습니다 유용하네요
이좋은글에 왜 댓글이없죠?ㅠㅠ 감사합니다 잘읽었어요!ㅎㅎ
그래도 알아보시는 분들이 있어서 다행입니다ㅎ
ㅠㅠ앞으로도 학습관련 게시물 많이 올려주세요~~꼭꼭 챙겨볼게요!ㅎㅎ
스크랩 ~~~~~
출처만 정확히 ~
굿굿굿굿굿!
이런 게시글의 논지를 담고있는 책 추천 좀 해주세요..
오르비 북스(Books)에 있습니다.
좋은글 잘 읽었습니다!!!
정말정말 좋은글입니다.
수능수학은 이 글안에 해법이 다 있다고 해도 될듯하네요