우주
https://virtualmath1.stanford.edu/~conrad/diffgeomPage/handouts/trivline.pdf
Brian Conrad라는 앤드류 와일즈 제자인데다가 현우진 쌤 학부 지도교수인 정수론 쪽 수학자인데, 예전에 학부 미분기하 수업을 한번 진행했을 때 올린 수업 자료. 제목은 "Why the universe cannot be S^4" 라는 상당히 어그로성이 짙은 제목의 문서인데, 기본 세팅은 spacetime (smooth Lorentzian 4-manifold, 다시 말해서 signature 가 (3,1)인 pseudo-Riemannian manifold) 이고, 블랙홀 같은 singularity는 없다고 가정한 상태. 대수하는 사람 답게 분명 미분기하지만 아주 미분기하 스럽지는 않고 (예를 들어 curvature나 connection form같은게 등장하지 않음) 오히려 (선형)대수적인 면모를 부각해서 써놓음.
설명은 파일의 첫 페이지 Corollary 1.2 이후에 써있음. S^4는 simply connected이고 S^4는 non-vanishing vector field를 갖지 못하기 때문에 (Hairy ball theorem) S^4는 Lorentizian manifold가 될 수 없다 (Corollary 1.2) 이렇게 설명.
Corollary 1.2는 Theorem 1.1에 의해서 나온다고 써있는데, Theorem 1.1은 그 자체로 흥미롭고 직관적인 정리이기 때문에 따로 적어봄.
Theorem 1.1. Let $E\to M$ be a smooth vector bundle over a manifold $M$. If $E$ admits a pseudo-Riemannian metric $g$ with signature $(n_{+},n_{-})$, then there exist smooth subbundles $E^+,E^-\subset E$ with ranks $n_{+}$ and $n_{-}$ respectively such that $g$ has positive-definite on $E^+$ and negative-definite on $E^-$. In particular, the natural bundle map $E^+\oplus E^-\to E$ is an isomorphism.
원래 증명 안 보려고 했는데, 증명에서 Grassmannian을 써서 보게 됨. 정확히는, Theorem 1.1은 fiber에서는 자명하기 때문에, 테크니컬한 부분은 fiber들에서 decompose가 된 것들이 잘 짜맞춰져서 smooth subbundle들로 쪼개진다는 것을 보이는 부분임. 이 과정에서는 보통의 경우에는 smooth frame을 잡고서 M위에서 point들을 움직였을 때, local expression들이 smooth 하게 vary하기 때문에 smooth 하다고 하는데, 여기서는 Grassmannian을 이용해서 증명함. 나만 처음본 것일 수도 있는데, 이렇게 증명하는 것은 또 처음봄. 이것에 대해서는 사실 Conrad가 맨 처음 문단에 써놨는데, "pseudo-Riemannian manifold이기 때문에 기존의 Riemannian 에서 하던 직관적인 작업들이 잘 되지 않을 수 있다" 이렇게 설명함. (이래서 pseudo-Riemannian manifold가 어려움)
기본 아이디어는, 앞서 말한 대로, 각 fiber마다의 decomposition을 한 다음에, quotient를 해서 positive definite한 파트만 살려놓으면, $G_{n_+}(\Bbb R)$ 에 한 점이 대응됨. 따라서 $M\to G_{n_+}(\Bbb R)$로 가는 set map을 만들 수 있는데, 문제는 이것이 smooth 한지 체크하는 것. 이걸 어떻게 보였는지 궁금하면 노트를 한번 보길. (아무도 안보겠지만!)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
-
"혹시 이과이신가요?" 10
"네 그렇습니다." "혹시 문과이신가요?" "...왜요?"
-
숨마쿰라우데 2
숨마쿰라우데 수학 해보신분 있으신가요?? 이걸로 개념 괜춘할까요?? 너무 지엽적이라는 분들도있어서…
-
ㄷㄷ
-
막상 버리지 못한 서울대와 한의대에 대한 열망감 삼반수를 해보지 못했던 것에 대한...
-
아하..
-
새들이 운다 1
Birds are crying
-
으흐흐
-
확실히 4
탈릅시즌이긴 하네…오늘 몇명이나 간거지
-
그럼 내 인생을 비로잡을 수 있을 텐데
-
옯질이 좀더 재밌어질것가튼데 매번 쓰던것만 돌려막기하는 느낌
-
옯스타 홍보하겟습니다 13
nynykyo_93 닉 모르겟으면 안받습니다
-
어려울까요..... 이미 상향이라 마음놓고있긴한데ㅋㅋㅠㅠ
-
호무라가 회귀해서 마법소녀 소원빌때 마도카가 절대 마법소녀와 마녀가 되지 않게...
-
몰래 구경할 수 있음 백이 설아 흑이 샴슈
-
콜로세움 엌ㅋㅋ
-
이왕 자는김에 6
다들 숙면하삼중간에 깨지말고
-
여르비들아 2
나랑 맞팔할 존예여르비 어디 없남
-
잠 12
안온다 ㅈ댓다 낼부터 겅부해야대는데ㅔ
-
메디컬 전망 3
의치한약수 중에서 전망이 어디가 젤 좋다고 보심? 커뮤들은 다 망했다고 하고...
-
현대인들은 인간과 인간의 실질적 소통 가능성에 진지하게 의문을 품는다. 주관적으로는...
-
역시 난 한국인이네
-
제가 작년에 여기서 본 말인데 개인적으로 와닿았어요
-
자러 갈게 4
다들 좋은 꿈 꿔! ｡◕‿◕｡
-
두구두구두구.... 배드민턴
-
하지만 난 내실을 쌓앗어
-
잘자셈 5
다들 자는갑네
-
내가 인증보고싶은사람 13
옯창남르비랑 존예여르비
-
난 붕신맨이야 16
날 그렇게 불러다오..
-
탈릅합니다 2
오르비에 정말 좋은 분들도 많고… 덕분에 고3 시절 재밌게 보냈습니다. 그렇지만...
-
확통vs기하 0
기하: 공도, 벡터 4점 못건드림 저거 제외하고 나머지 기하문제는 풀림 확통: 아직...
-
잡생각 줄줄..
-
걍 추천해주는거 안 보긴 하는데 걍 말하는게 웃겨서 봄ㅋㅋ
-
사람 살리는거에요
-
엽사 ㅇㅈ 3
진심으로 물기.
-
잠이 안 와… 8
-
부모님이 교사하려면 반에서 1~2등 해야한다고 했는데 아 ㅋㅋ
-
메인글 말대로라면 힘들려나 흠…
-
해주십시오… 아님 슬더스를 하던가
-
잘게 안녕
-
04오부이들 5
-
ㅇㅈ욕구 참는 법 24
친한 오뿌이한테 디엠으로 보내고 ㄹㅈㄷㄱㅁ 소리를 하게 한다 그거로 만족하기
-
내가 미쿠 보카로 이런 거는 잘 모르지만 이 그림이 진짜 내 취저다 쿠즈노하 그림...
-
다못생기고찐따인줄알았는데인증하는거보면전혀아님
-
군필 7수인데 내년에 의대가도 그렇게 늦은건 아니네 4
사실 2년전에 입학했고 2년휴학했다고 치면 그렇게 늦은것도 아닌듯
-
알파피메일들 많아서 재밌었음ㅇㅇ 담에도 ㅇㅈ많이해줘 언니들 나도 언젠간 할게~~
-
나도 막 무물 13
받고 공부하러가야젱
-
ㅇㅈㅎㅈㅅㅇ 3
못보긴함 지금
-
짧게 질받 10
아무거나 다 던져
-
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.