이 map은 각각의 $\partial B_Y$에 속하는 manifold $M$의 end-invariant $\mathcal{E}([M])$을 associate하는 mapping이다. end-invariant $\mathcal{E}([M])$은 클래식한 방법으로는 the limit lamination of the sequence of simple closed curve exiting every compact subset of $M$ 으로 정의할 수 있는데, Thurston의 length function $\underline{\mathrm{length}}_M$을 이용하면, 다음과 같이 정의할 수 있음:

Definition (End-invariant). Let $M\in\partial B_Y$ be a point in a Bers boundary. Then its end-invariant $\mathcal{E}(M)$ is the union of all connected geodesic lamination $\lambda$ such that for some $\mu\in\mathcal{ML}_+(S)$ we have

$$\lambda = |\mu|\text{ and }\underline{\mathrm{length}}_M(\mu) = 0.$$

다시 말해서, $M$에 속해있는 모든 unrealizable geodesic lamination들의 union을 말하는 것. Thurston과 Bonahon에 의해서 $\mathcal{E}(M)$은 geodesic lamination이 됨.

$\mathcal{E}(M)$은 quasi-isometry class $[M]$ of $M$에 대해서 invariant하기 때문에, 위에 map $\mathcal{E}$는 사실 $\partial B_Y/\mathrm{qi}\to \mathcal{PL}(S)/|\cdot |$로 descend할 수 있음. 이 map 또한 $\mathcal{E}$로 적기로 함.

먼저 $\mathcal{E}$의 성질에 대해서 서술해보고, 이 map의 연속성의 한계점을 알아보도록 한다.

Theorem 1. Let $\dim_{\Bbb C}(\mathrm{Teich}(S))>1$. The mapping $\mathcal{E}$ is strictly lower-semincontinuous in the quotient topologies on domain and range.

여기서 "strictly lower-semicontinuous" 하다는 의미는 다음과 같음:

For $[M_n]\to [M]$, any limit $\mathcal{E}_\infty$ of $\{\mathcal{E}([M_n])\}$ satisfies $\mathcal{E}_\infty\subset \mathcal{E}([M])$.

Theorem 2. The mapping $\mathcal{E}$ is a surjection onto $\mathcal{EL}(S)$.

여기서 $\mathcal{EL}(S)$는 소위 "ending lamination space" 라고 하는데, ending lamination들을 모아놓은 집합이기 때문. 보통 정의를 measurable lamination들 중에서 filling lamination들을 모아놓은 집합으로 정의할 수 있음. 여기서 포인트는 lamination 자체는 measure를 갖고 있지 않지만, measure를 줄 수 있기 때문에 measured lamination으로부터 나온 것 (쉽게 말해 measure를 forgetting한 measured lamination). 논문에서는 정의를 좀 relatively filling이라는 개념을 이용해서 정의했는데, 좀 더 세심하게 정의했다고 볼 수 있음.

모든 unmeasured lamination $v$는 두개의 부분으로 partition을 할 수 있음: $v = P\coprod E$ 여기서 $P$는 simple closed curve들 (P는 parabolic의 P), $E$는 infinite minimal component들 다시 말해서 각각의 leaf들이 infinite이고 각각의 component에 dense하게 있는 것 (E는 Ending lamination의 E). $v$ 자체는 $S$에서 filling이 아닐 수 있지만, relatively fills $S$라는 것은 모든 component $v'$ of $E$가 만나는 subsurface of $S-P$를 filling하는 경우로 $E$의 component가 그가 만나는 subsurface를 filling하는 경우를 말함.

$\mathcal{EL}(S)$는 quotient of quotient space $\mathcal{PL}(S)/|\cdot |$ 인데, 각각의 unmeasured lamination $v\in\mathcal{PL}(S)/|\cdot |$에 대해서 unmeasured lamination $\hat{v}$을 assigned 한 것을 말하는데, 여기서 $\hat{v}$는 $v$로 부터 minimal set of simple closed curve를 집어 넣어서 $v$가 $S$에서 relatively fill하게 만드는 것. 따라서 $\mathcal{EL}(S)$는 relatively filling하는 모든 unmeasured lamination들을 모아놓은 공간이라고 보면 됨.

Theorem 2로 부터 $\mathcal{E}$의 image를 정확히 파악할 수 있었지만, Theorem 1로 부터는 이 map의 continuity를 말해주지 않음. 그리고 사실 continuous하지 않음. 이건 기본적으로 "accidental parabolics" 가 limit manifold에서는 등장하기 때문:

E.g 1) $\dim_{\Bbb C}(\mathrm{Teich}(S))>1$ 임을 이용해서, 서로 다른 isotopy class $\gamma$와 $\delta$ s.t. $i(\gamma,\delta) = 0$인 것을 찾음. 이제 $\mathcal{P}\subset S$를 maximal partition containing $\delta,\gamma$라고 하자. 그러면 $\mathcal{P}$로 Fenchel-Nielsen coordinate를 이용해서, $X_{n,m}\in\mathrm{Teich}(S)$ s.t.

$$\mathrm{length}_{\delta}(X_{m,n}) = {1\over m}\text{ and }\mathrm{length}_{\gamma}(X_{n,m}) = {1\over n}$$

으로 잡는다. 다시 말해서, $\delta$와 $\lambda$를 pinching하는 sequence를 잡는 것. 그러면 $\{Q(X_{n,m},Y)\}$는 $m\to\infty$일 때, 만들어지는 limit manifold들을 $\{M_n\}$이라고 하면 $\mathcal{E}(M_n) = \delta$가 되고, $n\to\infty$로 다음에 보내고 limit manifold를 $M$이라고 하면 $\mathcal{E}(M) = \delta\cup\gamma$가 됨. 근데, $\mathcal{E}(M_n) = \delta$ 인데 resulting manifold의 end-invariant는 $\gamma$도 포함되어 있기 때문에, 즉 $\gamma$가 accidental parabolic으로서 등장하기에, continuity가 깨짐.

E.g 2) 이 예시는 비슷하지만 추후에 나오는 end-invariant topology 정의의 정당화 같은 것인데, "growth rate"에 따라서 $\mathcal{PL}(S)$ 에서는 감지하지 못하지만 $AH(S)$ 에서는 감지가 되는 그런 현상이 있음을 보여줌. 따라서 기존의 $\mathcal{PL}(S)$에서의 topology 말고 좀 다른 더 세심한 topology가 필요함을 암시함. $C_0$를 $S$의 maximal partition이라고 하고, disjoint한 essential simple closed curve들 $\gamma,\delta$를 잡는데, $i(\alpha,\gamma)\neq 0\neq i(\alpha,\delta)$ for each $\alpha\in C_0$ 을 만족하도록 설정. $\tau_\gamma$와 $\tau_\delta$를 dehn twist 라고 하고 $C_n = \tau_\gamma^{n^2}\circ\tau_\delta^n(C_0)$ for each $n\in\Bbb Z_+$라고 하자. 그러면 maximal cusps $\{M(C_n)\}$의 limit manifold를 $M$라고 했을 때, $\gamma$와 $\delta$모두 parabolic으로 되지만, $\mathcal{ML}(S)$에서는 growth rate가 $\tau_\gamma$가 훨씬 크기 때문에, $[\gamma]$로 수렴하게 됨. 역시 이 경우도 $\mathcal{E}$의 discontinuity를 보여줌.

이러한 이유로, continuity를 원한다면, 기존의 topology와 다른, sequence의 모든 accumulating하는 lamination들을 모두 캡쳐하는 것이 합리적. 따라서 다음과 같은 정의를 함:

Definition (End-invariant topology). The end-invariant topology on $\mathcal{EL}(S)$ is the topology of convergence for which $v_n\to v$ if for any Hausdorff limit $\lambda_H$ of any subsequence $v_{n_j}$, the maximal measurable sublamination $\eta\subset\lambda_H$ is a sublamination of $v$.

다시 말해서 주어진 sequence $v_n$의 모든 Hausdorff convergence sense에서의 모든 accumulation point들을 모아놓은 것을 말함. 근데 한가지 조심해야할 것은, limit lamination $v$는 well-defined 되어 있지 않은 것이, accumulation point들을 제외한 부분에 대해서는 여러가지의 가능한 lamination들이 $v$에 존재할 수 있고, 따라서 limit $v$는 여러개가 나올 수 있음. 다시 말해서 좋은 성질을 갖고 있는 topology는 아니라는 것.

Theorem 6. Let $X_n\to\infty$ in $\mathrm{Teich}(S)$ determines quasi-Fuchsian manifolds $M_n = Q(X_n,Y)\to M$ in $\partial B_Y$. Then the partitions $\prod (M_n)$ converges to $\mathcal{E}(M)$ in the end-invariant topology.

Corollary 6-1. The laminations $\mathcal{E}(M_n)\coprod \prod (M_n)$ converges to $\mathcal{E}(M)$ in the end-invariant topology.

Theorem 7. Let $\gamma$ be an essential simple closed curve in $S$ and $\dim_{\Bbb C}(\mathrm{Teich}(S))>1$. Then for any other essential simple closed curve $\alpha$ in $S-\gamma$, there are maximal partitions $C_n\to\lambda_H$ in the Hausdorff topology and associated maximal cusps $M(C_n)\to M$ in $\partial B_Y$ for which

(1) $\gamma$ is the maximal measurable sublamination of $\lambda_H$, and

(2) $\alpha$ lies in $\mathcal{E}(M)$.

여기서 이 $\alpha$의 성질을 보면, limit manifold $M$의 end-invariant로 등장하고, 다시 말해서 $\alpha$는 accidental parabolic로 나타나게 됨.