[칼럼]논술에서도 쓸일 없는 테일러 급수 증명법 (ver.고등학생)
첫 글 쓴지 얼마 안되서 두번째 글을 써보네요... 그리고 이륙 지원해주신 분들 모두 감사합니다!
제목대로 테일러 급수는 사실 논술에서도 써먹을 기회 자체를 거의 주지 않습니다... 하지만 난 극한 문제를 풀 때 테일러 급수 매번 쓰면서 너무 찝찝했다! 하시는 분들은 한번쯤 읽어 보시면 좋을 것 같습니다.
테일러 급수란 초월함수를 다항함수의 합으로 나타내는 방법입니다. 예를 들자면
과 같은 식의 방정식입니다. 이를 전개하면
과 같은 모양이죠. 여기서 우리가 주로 쓰는 부분은 이차항 이상의 부분을 싹 다 잘라내고
로 근사한 부분입니다. x가 0에 가까워질수록 1차항보단 2차항 이상의 부분의 오차가 매우매우매우 작아지기 때문에 이렇게 근사할 수 있는 것입니다.
그럼 지금부터 테일러 급수의 증명을 간단하게 적어 볼게요.
급수로 구하고자 하는 함수를 f라 둘게요. 고등학교 과정에서 배우는 모든 초월함수는 무한히 미분 가능하니 f도 무한히 미분 가능하다고 두죠. 그러면 미적분의 기본정리에 의해
가 성립합니다.
위 식을 부분적분하는데 u=f'(t), v'=1로 두고 적분상수 C=-x로 두면 다음과 같은 전개가 가능해집니다.
v'=1이면 v를 적분하면 t+C가 나오죠. 여기서 적분할 인자는 t이기 때문에 적분상수를 x로 둘 수 있게 됩니다.
자. 이번엔 오른쪽의 (t-x)f''(t)를 다시 부분적분해 보겠습니다.
여기서 f 위의 괄호 안의 숫자는 f를 미분한 횟수를 표현하는 방법 중 하나입니다. '(dot)을 많이 찍다 보면 갯수 세기가 불편하잖아요?
한번 더 전개하면
이를 계속 반복하다 보면 이러한 규칙이 생깁니다.
이렇게 다 더하면
라는 식이 나옵니다.
함수 f는 무한히 미분이 가능한 함수라 가정했고 대부분의 초월함수가 실제로 그 조건을 만족하므로 n은 무한히 커질 수 있겠죠?
이때 어지간한 초월함수라면 n!의 증가량이 분자 부분((t-x)^n f^(n)(t))의 증가량보다 아득히 크기 때문에 마지막 적분 기호는 n이 무한대로 발산한다면 0으로 수렴합니다.
(이 부분은 대학 가서 적분의 평균값 정리를 배워야 자세히 설명이 가능한데... 일단은 이렇게 대충 짚고 넘어갑시다)
따라서 f(x)는 다음과 같이 새롭게 정의할 수 있습니다.
이것이 그 탈 많은 테일러 급수의 유도 과정입니다.
그럼 이제 실제로 자주 쓰는 초월함수 몇 개를 넣어서 한번 계산해 보죠.
먼저 f(x)=e^x입니다.
f'(x)=e^x, f''(x)=e^x, ... 이므로 a=0을 대입해 정리하면
가 됩니다.
이번엔 로그함수 f(x) = ln(1+x)입니다.
f'(x) = 1/(1+x), f''(x) = - 1/(1+x)^2, f'''(x) = 2/(1+x)^3, ... 이므로 a=0을 대입해 정리하면
가 됩니다.
다음은 사인함수, 코사인함수를 해 볼까요?
이번에도 a=0을 대입하고 미분해서 계산해 보면
나머지 삼각함수들은 사인, 코사인처럼 직접 유도되는 것이 아니라 다른 방법으로 유도합니다. 그래서 그 과정 설명은 못 해드리고... 가장 자주 쓰이는 탄젠트의 식만 짧게 보여드리겠습니다.
네... 이 친구의 계수는 얼핏 보면 불규칙해 보입니다. 이는 나중에 베르누이 수열이라는 걸 배운 뒤에 알아보시는 걸로...
다른 초월함수들은 고등학교 과정에선 거의 안 배우죠? 그러니 초월함수 탐색은 여기까지 하겠습니다. 수식 넣기 힘들어요
마지막으로 테일러 급수는 대체 어디까지 근사해서 써야 하느냐! 에 관한 내용을 조금이나마 적겠습니다.
대부분의 극한 문제에서는 분모 분자가 같은 차수가 되도록 문제를 만듭니다. 이러한 경우에는 보통 1차항(코사인의 경우는 2차항)까지만 근사하면 답이 나옵니다.
하지만 간혹가다 분자에는 사인 1개 x 1개나 탄젠트 1개 x 1개 줘 놓고는 분모에선 3차항을 준다던가... 하는 경우가 있습니다.
뭐 이런식으로 말이죠. 이때는 분모와 차수가 같아지는 차수까지 근사를 해 주셔야 합니다. 가령 위의 식에서는 사인을 3차까지 근사해서 답은 1/6이 나옵니다.
여기까지 테일러 급수의 증명과 활용시 주의점에 대해 부족하게나마 적어 봤습니다. 이걸 보고 수학에 흥미가 생기신다면 좋겠네요... 긴 글 읽어주셔서 감사합니다!
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
인문대 상경대 사과대 사범대 자연대 공대 예대 체대 모든 단과대생이 모이는 곳
-
전산자료 수정 0
원서접수랄 때 뜨는데 이게 머지..... 뭐지정말..,
-
( 응급실 뺑뺑이 추석 고비보다 더한 고통, "겨울에 암환자 뺑뺑이 나타날 것" ) 0
P윤설열은 '2025 의대정원확대 백지화'하고 의사 대표자들이 참석한 협의체와...
-
확통..ㅠㅠ 4
자꾸 답 5번 나오는데 머가 잘못됐는지 아시는분 뭘 더센건지 검산해도 몰겟어요ㅜ
-
10to6(유동적) 맨날 핸드폰만 하다 가는 사람이었는데 벽 너머로 날 너무...
-
이번주동안 빡새게 해서 키스타트 abps개념은 대충 잡은 상태고 영어는 70~76점...
-
일반고 가능하냐? 좆반곤 아니고 갓반곤 더 아니고 난 내신 병신인데 건동홍은 간...
-
머리 풀리면 다른 과목 공부해야지 ㅎㅎ
-
모르는 게 수두룩빽빽!!
-
한 달 기준 대학 다닐 땐 차비+병원비+책 값 지원+ 60~80이었는데 지금은...
-
(홍보) 따뜻한 청년. 13
요새 울적했는데 제 책을 읽고 실모 독서를 거의 안 틀리게 됐다는 쪽지를 받고...
-
지능 높은 남자가 높은 사회경제적 지위를 얻고 에쁜 여자랑 결혼해서 지능 높고...
-
조심하세요
-
미친놈들 ㅋㅋㅋ 70 80년대부터 하던걸 들이미네 ㅋㅋㅋ 리버럴아츠 그럼 니네도...
-
그거 딱 하나만 써보고 싶어서요.. 지금부터 주에 3시간씩 그리고 수능 끝나고...
-
6논 최초합부탁한다
-
사문 최적 듣고 있는데 잘 맞아서 혹시 비슷한 결의 강사가 있을까요?
-
(P윤석열 지지율 20% : 취임 후 최저 , 부정평가이유 : 의대정원 확대 ) 3
P윤석열은 시간을 지체말고 결자해지 하세요. 의료개혁이라는 달콤한 워딩으로 위장하여...
-
몇개월동안 이것만 먹다보니까 이제 보기만 해도 식욕이 감퇴됨
-
경한 학종 0
내신 1.12이면 붙을만 한가요..? 일반고이긴함
-
간쓸개 파이널 1
퀄리티 어떤가요
-
아주대 경쟁률이 가려는 과 50 제일 낮은 자연 20인거보고 다른곳은 어떤가 하고...
-
인문 논술, 사회 논술, 상경 논술 셋 중에 뭐가 벼락치기하기 좋나요?? 수능...
-
대충 보면 한 30퍼는 애니프사인 것 같네 ㅋㅋㅋㅋㅋ 학벌과 오타쿠의 상관관계가...
-
80~90분정도 썼습니다! 15번, 22번에서 시간을 거의 다 쓴거같습니다....
-
투표 올릴게오
-
원서 사진 0
수시 원서 접수할때 사진 원본파일말고 사진을 폰으로 찍은거 편집해서 접수했는데...
-
난 진짜 2.0저공 비행 졸업장만 딸거야
-
고정 1도 빡센데
-
사회악임
-
자연과학계열은 3합6이고 30명 모집 에너지학과는 3합5이고 5명 모집인데 아무리...
-
방법,계획,형식에 구속되면 안 된다. 순간순간의 충동과 즉흥적인 에너지로...
-
양치를벋벅 0
다하고이감파이널플러스 고고혓
-
53000원 경북대에 기부 완료
-
먼저 안다가가면 내 이름 나이 이런거 모르나 틀딱이라 굳이 알려지기 싫긴함
-
어차피 높은 확률로 로스쿨이나 대학원 보고 있는데 그러려면 내가 가장 잘하는 걸...
-
실모는 구할 수 있는거 다 풀건데 좀 비어있는 심화개념 매꿀 수 있는 강의 있나요? 실수분들 조언좀
-
종로 모고 4
볼만 한가요??? 반수생이라 9덮 10덮만 현장 응시하게 되었는데 10종로 현장...
-
왜지 준킬러급도 갑자기 오답률이 높네 1주일정도 지2몰아듣느라 수학 안해서 그런가....
-
1. 공부 계획은 아주 조금도 세우지 않는다. 2. 그냥 아무 책이나 꼴리는 대로...
-
초심 다잃고 그냥 저능아 됐음 아떻게 복구하지
-
오픈AI, '추론'하는 새 AI 모델 'o1' 공개…챗GPT에 탑재(종합) 1
코드명 '스트로베리'로 개발…국제수학올림피아드 정답률 83% 단계적 사고 문제...
-
컷왤케높음
-
”어마마마“ 면 개추 올해7년 차같은데 10년가보자고~ 걍100세까지 상주하자 ㅋㅋ
-
치킨 추천 좀 해주세요 맛있는거로다가
-
오삐가 성공하면 깊을게
-
H3PO4에 확장된 옥텟이 있는지 묻는 문제는 봤는데 H3PO4가 이런 형태더라고요...
-
경쟁률 제일 적은 수학과 수리논술할려했는데(아주대) 오히려 경쟁률보다 학생수준을...
-
지긋지긋한 수학은 쳐다보지도 않고? 4년간 리트 공부를 곁들이면서? ㄹㅇ 공부가 재밌을것같은데 ㅠ
테일러씨는 참 똑똑하구나
한무 부분적분으로 테일러급수 느낌있게 증명하기 ㄷㄷ
멋있네요
전 개인적으론 이것보단 미분을 이용한 증명이 더 멋진데... 엡실론 델타를 여기서 설명할 수는 없으니 ㅠ
이것도 올려주신다면 재밌게 읽어보겠습니다 ㅎㅎ,,
이건 차마 설명을 못하겠네요... 너무 풀어쓰기가 힘들어유...
예전에 저걸 통해서 오일러 등식 도출할때 참 수학 재미있다고 생각했었는데...
좋은글 감사합니다