현행 국어/수학 표준점수 산출 원리 (1)

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안녕하세요 [Crux] 환동입니다.

어제 표준점수의 기본적인 내용에 대해서 소개를 해드렸고

오늘은 본격적으로 현행 국어/수학에서 표준점수를 산출하는 원리에 대해서 알려드리려고 합니다.

1편의 내용을 기본적으로 알고 있다는 전제 하에 내용을 서술하였고, 글 중간중간에도 1편의 내용을 언급하는 부분들이 있으니 1편을 꼭 읽고 와주시기 바랍니다.

1편 (표준점수의 원론적인 이야기) : https://orbi.kr/00065483107

Ⅰ. 공통과목과 선택과목의 Z점수 계산

위 표와 같이, A모의고사에서

수학 공통과목의 평균과 표준편차는 각각 35점과 19점이었고, 

미적분 선택자들만을 대상으로 산출한 공통과목 평균과 표준편차는 각각 44점과 17.5점이었습니다.

그리고 미적분 선택자들의 선택과목 평균과 표준편차는 각각 12점과 6점이었다고 합니다.

이 시험에서 공통과목 62점 + 미적분 18점을 받은 학생이 있다고 합시다.

이 학생의 공통과목 Z점수와 선택과목 Z점수는 각각 얼마일까요?

Z점수 계산 방법 자체는 1편에서 설명했던 것과 하나도 다른게 없습니다.

똑같이 원점수에서 평균을 빼고, 그것을 표준편차로 나누면 됩니다.

먼저 공통과목의 Z점수를 구하면

(62-35)÷19 ≈ 1.42가 나오네요. 따라서 공통과목의 Z점수는 약 1.42입니다.

선택과목의 Z점수를 구하면

(18-12)÷6 = 1이 나옵니다. 따라서 선택과목의 Z점수는 1임을 알 수 있습니다.

여기서 공통과목 Z점수는 위 그림과 같이 바로 대입하시면 됩니다.

그런데 선택과목 Z점수는 바로 대입하면 안됩니다.

선택과목 Z점수는 조정을 거치기 때문입니다.

도대체 어떤 조정을 거치는건지, 왜 이런 조정을 하는건지 다음 내용에서 살펴보도록 합시다.

일단 선택과목 Z점수가 1이 나왔다는 것을 기억해두시면 좋을 것 같습니다.

Ⅱ. 선택과목의 Z점수 조정

선택과목 조정 원점수

만약에 선택과목의 Z점수를 그대로 쓴다면 심각한 불공정성이 생깁니다.

선택과목 난이도가 비슷하다면 못하는 사람이 많은 그룹이 평균과 표준편차가 낮기 때문에 더 높은 Z점수를 가져가고, 더 나아가 표준점수도 더 높게 나올 가능성이 큽니다. 

난이도가 어려워서도 아니고, 선택자들의 평균 실력이 낮다는 이유 때문에 더 높은 표준점수를 가져가는건 상식적으로 매우 불공정해 보입니다.

따라서 이러한 불공정 문제를 해결하기 위해 선택과목 Z점수는 조정 과정을 거치게 됩니다.

선택과목의 Z점수를 어떻게 구했는지 다시 떠올려봅시다.

먼저 선택과목 원점수에서 선택과목의 평균을 뺐습니다. 그런 다음 선택과목의 표준편차로 나눴죠.

수식으로 표현하면 아래와 같습니다.

(편의상 선택과목은 미적분이라고 가정합시다.)

그렇다면 역으로 Z점수로부터 원점수를 구하려면, Z점수에 표준편차를 곱한 후 평균을 더하면 된다는 것을 알 수 있습니다. 수식으로 나타내면 아래와 같겠죠.

그런데 평가원에서는 이를 응용하였습니다.

'선택과목 표준편차' 대신에 '미적분 선택자의 공통과목 표준편차'를 곱하고

'선택과목 평균' 대신에 '미적분 선택자의 공통과목 평균'을 더합니다.

그렇게 해서 '선택과목 조정 원점수'라는 점수를 산출합니다.

이 선택과목 조정 원점수가 의미하는 바는, 

"미적분 선택자가 선택과목에서 이와 같은 Z점수를 받았다면, 미적분 선택자들의 공통과목 평균과 표준편차를 고려했을 때, 공통과목 원점수로 환산한다면 이러한 점수(조정 원점수)가 나올 것"으로 추정하는 것이죠.

쉽게 말해서 조정은 선택과목 원점수를 공통과목 원점수로 '환산'하는 과정이라고 생각하시면 됩니다. 

선택과목마다 난이도도 다르고 표본의 수준도 다르기 때문에, 예를 들어 확률과 통계 22점과 미적분 18점이 있다면 이 둘을 직접적으로 비교하는 것은 불가능합니다. 기준이 동일하지 않기 때문이죠.

하지만 이들을 모두 공통과목 원점수로 환산한다면 기준이 동일해지기 때문에, 직접적인 비교가 가능해지게 됩니다.

실제로 확률과 통계 선택자의 선택과목 조정 원점수를 계산할 때는 '확률과 통계 선택자의 공통과목 평균과 표준편차'가 사용되고

기하 선택자의 선택과목 조정 원점수를 계산할 때는 '기하 선택자의 공통과목 평균과 표준편차'가 사용됩니다.

결국 공통과목 원점수로 환산할 때 가장 핵심 포인트는 '각 선택과목 선택자들의 공통과목 평균과 표준편차를 고려하는 것'이죠

당연하게도, 이 통계량들은 각각 곱해지고 더해지는 것이기 때문에, 자신의 선택과목 그룹의 공통과목 평균과 표준편차가 모두 클수록 조정 원점수가 높게 계산됩니다. 

공통과목 평균이 높을수록 조정 원점수가 높아진다는 점에서, 결국 선택자들의 실력이 더 좋을수록 점수가 더 유리하게 계산된다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 실력이 낮은 선택과목 그룹이 무조건 높은 표준점수를 가져가는 불공정성을 막을 수 있습니다.

요약 : 선택과목 조정 원점수는 선택과목 원점수를 공통과목 원점수로 환산한 것이고, 조정 원점수가 높게 나오려면 자신의 선택과목 그룹이 공통과목 평균 및 표준편차가 높아야 할 것

선택과목의 조정 Z점수

선택과목 원점수를 공통과목 원점수로 환산했습니다.

그렇다면 이 점수로 다시 Z점수를 계산해야겠죠? 

조정 원점수는 공통과목 원점수나 마찬가지이기 때문에, 공통과목 Z점수 구하는 방식과 완전히 똑같은 방식으로 진행하시면 됩니다.

즉, 조정 원점수에서 공통과목 평균을 뺀 뒤, 공통과목 표준편차로 나누시면 됩니다.

A모의고사 예시에서 조정 Z점수 구하기

자 그렇다면 아까 제시한 A모의고사 예시를 다시 가져와보겠습니다.

선택과목 Z점수가 1점이라고 했던 것을 기억해두자고 했는데, 못하셨을수도 있으니 다시 써왔습니다.

먼저 조정 원점수를 구해보도록 합시다.

미적분 선택자의 공통과목 평균은 44점이고, 표준편차는 17.5점이라고 나와있습니다.

선택과목에서 Z=1을 받았기 때문에, 이를 공통과목 원점수로 환산하자면 44+17.5×1 = 61.5점이 된다는 것을 알 수 있습니다.

이는 "미적분 Z점수가 1이라면, 미적분 선택자들의 공통과목 평균과 표준편차를 고려했을 때, 이를 공통과목 원점수로 환산한다면 61.5점일 것"으로 추정한다는 의미로 볼 수 있습니다.

조정 원점수를 구했으니, 이제 남은 것은 조정 Z점수를 구하는 것입니다.

조정 원점수 61.5점에서 공통과목 평균 35점을 빼고, 이를 공통과목 표준편차 19점으로 나누면 

(61.5 - 35) ÷ 19 ≈ 1.39 

따라서 선택과목의 조정 Z점수로 1.39점을 얻게 되었습니다.

Ⅲ. 표준점수의 최종 계산

그러면 공통과목 Z점수와 선택과목 조정 Z점수를 모두 구했으니, 이제 최종적인 표준점수를 구할 수 있겠죠?

공통과목 Z점수는 1.42점, 선택과목 조정 Z점수는 1.39점이라고 했으니 아래 식에서 그대로 대입해서 계산하실 수 있습니다.

계산 결과는 소수점 아래 첫째자리에서 반올림되기 때문에, 최종적인 표준점수는 128점이라는 것을 알 수 있습니다.

Ⅳ. 통계량에 관한 리뷰

제가 1편의 예고편에서, 미적분 선택자를 예로 든다면 미적분 선택자의 표준점수를 산출하는 데는 다음과 같이 6개의 통계량이 관여한다고 말씀드렸습니다.

(1) 모든 수험생의 공통과목 평균

(2) 모든 수험생의 공통과목 표준편차

(3) 미적분 선택자들의 공통과목 평균

(4) 미적분 선택자들의 공통과목 표준편차

(5) 미적분 선택자들의 선택과목 평균

(6) 미적분 선택자들의 선택과목 표준편차

그리고 (1), (2), (5), (6)은 수치가 작을수록 표준점수가 높게 산출되며, (3), (4)는 수치가 클수록 표준점수가 높게 산출된다는 말씀도 드렸습니다. 윗 글 내용을 잘 이해하셨다면 이게 왜 그랬는지 이해가 되실 것 같기도 한데, 그래도 이에 대해 한 번 리뷰해보겠습니다.

먼저 (1), (2)의 수치가 작을수록 좋은 이유는 1편에서 설명했던 내용과 일맥상통합니다. 

제가 1편에서 평균과 표준점수의 관계, 표준편차와 표준점수의 관계 설명하면서 평균과 표준편차가 모두 작아야 표준점수가 높게 산출된다고 설명을 드렸는데, (1), (2)도 마찬가지 이유입니다.

특히 이 값들은 공통과목 Z점수와 선택과목 조정 Z점수 모두에 영향을 미치기 때문에 이 값들이 크게 나온다면 표준점수를 상당히 하락시킬 것입니다.

(3), (4)의 수치가 클수록 좋은 이유는 윗 글에서 언급을 했습니다. 자신의 선택과목 그룹의 공통과목 평균과 표준편차가 모두 클수록 조정 원점수가 높게 계산된다고 직접적으로 말씀드린 부분이 있기 때문에 더 자세한 설명은 하지 않도록 하겠습니다. (1), (2)와 달리 이 통계량들은 선택과목 조정 Z점수에만 영향을 미치기 때문에 (1), (2)보다는 영향력이 다소 떨어진다고 볼 수 있습니다.

(5), (6)의 수치가 작을수록 좋은 이유...도 뭐 뻔한 얘기입니다. 선택과목 평균과 표준편차가 크면 선택과목 Z점수 자체가 작아져서, 이를 조정한 원점수도 낮게 나오겠죠. 그렇다면 결국 선택과목 조정 Z점수도 낮게 산출될 것이고요. 맥락 자체는 (1), (2)와 비슷하다고 생각하시면 됩니다.

다만 차이점이 있다면 (1), (2)는 공통과목 Z점수와 선택과목 조정 Z점수에 모두 영향을 미치는데 (5), (6)은 선택과목 조정 Z점수에만 영향을 미친다는 점입니다. 따라서 (1), (2)보다는 영향력이 약한 편이라고 보시면 됩니다.

Ⅴ. 표준점수 계산식의 간략화 (3편 예고)

이렇게 국어/수학 표준점수 산출 체계에 대해서 알아봤습니다.

결국 국어/수학 표준점수 산출식을 통째로 쓰면 다음과 같습니다.

식을 통째로 써놓고 보니 너무 복잡합니다. 

그런데 수학 공부를 많이 해보신 분들은, 식을 잘 조작해보시면 결국 

Ax + By + C 

의 간단한 꼴이라는 사실을 알 수 있으실겁니다.

이 공식은 매우 직관적이라 이해하기가 쉽습니다.

공통과목 원점수(x) 1점당 표준점수가 A점 상승하고

선택과목 원점수(y) 1점당 표준점수가 B점 상승한다는 의미이겠죠

그리고 x=y=0일 때, 표준점수가 C점이 나오기 때문에 C는 '기본 표준점수'입니다.

여기서 A, B, C가 의미하는 바를 수식으로 쓰면 다음과 같습니다. 

(편의상 수학에 대해서만 쓰도록 하겠습니다. 국어는 숫자만 약간 바꿔주시면 됩니다.)

이 수식에 대해 몇가지 주목해볼 점은

A는 어떤 선택과목이든 값이 다 똑같이 나옵니다. 관여하는 통계량이 '전체 응시자'의 공통과목 표준편차밖에 없기 때문입니다. 과거 크럭스 테이블들을 보시면 제가 항상 x계수는 다 똑같이 맞춰놓는데 이런 이유에서 그렇습니다.

B와 C는 선택과목마다 값이 각자 다릅니다. '각 선택과목 선택자 내에서만 한정'해서 구한 통계량들이 관여하기 때문이죠. 결국 이 값들이 선택과목별 표준점수 차이를 만들어내는 원인이라고 이해하시면 될 것 같습니다.

그리고 A와 B의 대소관계에 따라 같은 원점수 내에서 공통을 더 맞히는게 유리한지 선택을 더 맞히는게 유리한지가 결정됩니다. 

A>B이면 공통을 더 맞히는게 유리하고, A<B이면 선택을 더 맞히는게 유리하겠죠.

글 내용 자체가 1편에 비해 많이 어렵기도 해서, 분량은 여기서 한 번 끊어가는 것이 좋을 것 같습니다. 간략화 공식(Ax+By+C)에 대해서는 다음 시간에 자세히 다루도록 하겠습니다.

[1편] 표준점수에 대한 원론적인 이야기

[2편] 현행 국어/수학 표준점수 산출 원리 (1)

[3편] 현행 국어/수학 표준점수 산출 원리 (2)

[4편] 2024수능 미적분 만점 표준점수 계산 시뮬레이션

크럭스컨설팅 12월 11일(월) 올해 마지막 정시예약

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