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pluto [1124831] · MS 2022 (수정됨) · 쪽지

2023-08-18 00:38:53
조회수 8,691

제가 자주 쓰는 부분적분법 tip

게시글 주소: https://rocket.orbi.kr/00064111260

  일반적으로 다항함수와 지수함수가 곱해진 함수는 부분적분법을 통해 적분합니다. 곱해진 다항함수가 일차함수라면 부분적분을 해도 크게 불편함이 없으나, 이차 이상의 함수(주로 이차함수까지 다루긴 합니다)의 경우 부분적분을 두차례 진행해야 하므로 계산량이 꽤 많고, 그 과정에서 계산실수가 벌어질 수 있습니다. 그래서 제가 공부를 할때 고안해낸 한 가지 방법을 소개해드리고자 합니다.


  우선 방금 소개드린 함수는 아래와 같이 미분과 적분을 거듭하더라도 다항함수 부분의 차수가 일정하게 유지된다는 것을 알고 계실 것입니다.

이를 이용하는 것입니다. 즉, 피적분 함수가 n차 다항함수일 때, 적분 결과로 나오는 함수 또한 n차함수로 설정하고, 그 함수를 미분한 뒤 계수비교법으로 함수를 결정하는 것입니다.


  간단한 예시를 들어보겠습니다. 다음과 같은 함수를 부정적분한다고 생각해봅시다.

f(x)에 붙어있는 다항함수가 이차함수이니, 그 부정적분 F(x)에 붙어있는 함수도 이차함수일 것입니다. 따라서 앞서 설명한 내용대로 F(x)를 다음과 같이 설정할 수 있습니다.

이때 F(x)를 미분한 함수는 기존 함수와 같기에, 다음과 같은 항등식을 세울 수 있습니다.

따라서 계수비교법을 통해 다음과 같이 모든 계수를 결정한 뒤 적분 결과를 얻어낼 수 있는 것입니다.

이 방법은 지수가 일차식인 경우에 한에서, 모든 다항함수에 적용될 수 있습니다. 


여기서 글을 써보는 건 처음인데요.. 비록 짤막한 글이지만 제 첫글 읽어주셔서 감사합니다! 


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pluto [1124831]

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