econ 님이 올리신 확률문제 풀이 입니다

게시글 주소: https://rocket.orbi.kr/0006343005

서로 다른 두 선분을 만드는 방법은 두가지입니다
첫번째는 4개의 점을 선택하여 두선분을 만드는 방법
두번째는 3개의 점을 선택하여 두선분을 만드는방법
(문제의 마지막 제약조건에 나와있는 원위에 교점이 생기는 경우가 이경우입니다)

4개의 점을 선택하여 두선분을 만드는 방법

8C4 X (4C2 X 2C2)/2! 인데

(4C2 X 2C2)/2! 을 설명하자면

4개의 점을 2개씩 2개의 조로 나누고
같은조의 점끼리 연결하여 선분을 만든다고 생각하면 됩니다
즉 4개의 점을 2개의 조로 나누는데 2개의 조가 모두 2개씩 점을 가지므로
구분이 안되기에 2!으로 나눠줍니다(분할에서 조의 인원이 같은경우입니다)

그런데 4개의 점을 선택한후 실제로 그려보면
평행한 경우 2가지, 교점이 생기는 경우 1가지로 나누어 지는 것을 쉽게 찾을 수 있습니다

또는

4개의 점중에 기준점을 하나 선택하면 3가지의 경우가 생깁니다
바로 옆의 점을 선택하여 선분을 만드는 경우2가지(오른쪽 옆의 점, 왼쪽 옆의 점)
(기준점과 바로 옆의 점으로 선분을 만들면 자동적으로 남은 두점이 또 다른 선분이 되고
이 때 두 선분은 평행한 선분이 됩니다)
마주보는 점을 선택하는 경우 1가지
(기준점과 마주보는 점으로 선분을 만들면 자동적으로 남은 두점이 또 다른 선분이 되고
이 때 두 선분은 교차하게 됩니다. 즉 교점이 생기는경우입니다)

정리하면
4개의 점을 선택하여 두선분을 만드는 방법은
8C4 X (4C2 X 2C2)/2
즉 8C4 X 3이고 뒤에곱한 3가지중에 2가지는 평행 1가지가 교점이 생기는 경우입니다

다음은
3개의 점을 선택하여 두선분을 만드는 방법

8C3 X 3C1

3C1을 설명하면

3개의 점을 선택하여 두선분을 만드는경우는 두선분의 교점이 항상 원위에 있는경우입니다
즉 항상 교점이 존재하는 경우 입니다
(단 문제에서는 이렇게 교점이 생기는 경우는 COUNT하지 않습니다)

그러므로 3개의 점중에 교점을 하나 선택하고 이 교점에서 나머지 두점에 선을 그으면
두개의 선분이 생깁니다
즉, 3개의 점중에서 교점을 하나 선택하는 방법이므로 3C1입니다

결론

분모-8개의 점중에서 두개의 선분을 만드는 모든경우의 수
(4개의 점을 선택하여 두개의 선분을 만드는 경우의 수 + 3개의 점을 선택하여 두개의 선분을 만드는 경우의 수)
분자-4개의 점을 선택하여 두개의 선분을 만들때 교점이 생기는 경우의 수
(3개의 점을 선택하여 두개의 선분을 만들면 항상 원위에서 교점이 생기는데 문제의 조건에서 이경우는 제외한다고 했으므로 COUNT 하지 않습니다)

8C4 X 1 / {(8C4 X 3) + (8C3 X 3)} = 5/27