[미적 자작 문제] (삼각)치환적분법
수능 수학을 준비하며 공부할 수 있는 치환적분법에는 크게 두 가지가 있습니다.
하나는 integrate f(x)f'(x) dx 꼴을 integrate f(x)d(f(x))로 바라보아 (f(x))^2/2+C 같은 값을 얻어내는 방법이고,
다른 하나는 g(x)가 f(x)의 역함수일 때 integrate g(x)dx 꼴을 g(x)=y <=> x=f(y), dx=f'(y)dy로 바라보아 integrate yf'(y)dy 로 적분식을 바꿔주는 방법이죠!
이 문제는 후자를 적용해야 f(x) 식을 작성할 수 있는데 신기하게도 치환적분법을 2번 적용해야 합니다!
(적어도 제 풀이대로라면 말이죠)
수능에 출제되긴 어렵다 생각하고 (삼각치환을 다루고 있어서요) 출제 의도는 '계산을 잘하자' 정도로 바라봐주시면 좋을 것 같습니다.
참고로 y=tan(x)를 만족하는 실수 x, y에 대해 arctan(y)=x가 성립합니다.
여기서 x에 y를, y에 x를 대입한 것이 바로 y=tan(x)의 역함수이기도 하죠 ㅎㅎ
+ f(x)=sqrt3/9(4arctan(tan(x/2)/sqrt3)-sin(2arctan(tan(x/2)/sqrt3))) 로 식이 나오기 때문에 집중하셔서.. 과정을 잘 적어내리셔야합니다!
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참고로 이 문제는 작년 9월에 같은 반 친구들과 어떤 실모 30번을 보다가 1/(cos(x)+2)^2가 평범한 방식으로는 적분이 안되는 함수임을 알아야하는 상황에서 이것을 계산 실수로 적분해버린 친구가 있었는데 그때부터 모여서 '이거 진짜 적분 못하나?'라는 의문을 품음으로서 시작되었습니다 ㅋㅋㅋ 시도해본 분들이 많이 나오거나 어느 정도 시간이 흐르면 교실 칠판에 적어뒀던 최초 풀이 사진도 공유해둘게요
김현우 선생님 문항이라는 소식을 접해 남겨둡니다!
바이어슈트라스 치환 유명하죠
정답입니다! 바이어슈트라스 치환이라고 부르는군요
모든 점에서 연속이지만 미분 불가능한 함수를 바이어슈트라스 함수라 부른다고 알고 있는데 바이어슈트라스 분도 참 많은 것을 남긴 수학자 분처럼 보이네요
풀어주셔서 감사합니다!