[미적분] O/X 퀴즈
다음 중 옳은 설명만을 있는대로 고르시오.
ㄱ. 실수 전체를 정의역으로 하는 두 함수 f, g에 대하여 f, g가 모두 x = 0에서 연속이면 f(g(x))도 x = 0에서 연속이다.
ㄴ. 실수 전체를 정의역으로 하는 두 함수 f, g에 대하여 f, g가 모두 x = 0에서 불연속이지만 f(g(x))는 x = 0에서 연속인 예시가 존재한다.
ㄷ. 미분계수가 존재하지 않으면 접선도 존재하지 않는다.
ㄹ. y = x^(1/3)은 x=0에서의 접선이 존재한다.
ㅁ. y = x^(2/3)은 x=0에서의 접선이 존재한다.
ㅂ. 정의역이 실수 전체의 집합인 함수 중 모든 점에서 불연속인 함수가 존재한다.
ㅅ. 정의역이 실수 전체의 집합인 함수 중 모든 점에서 연속이고 모든 점에서 미분 불가능한 함수가 존재한다.
ㅇ. 정의역이 실수 전체의 집합인 함수 중 임의의 자연수 n에 대하여 정확히 n개의 점에서 불연속인 함수가 존재한다.
ㅈ. 모든 극댓값은 최댓값이다.
ㅊ. 모든 최댓값은 극댓값이다.
ㅋ. 정의역이 실수 전체의 집합인 미분가능한 함수 f에 대하여 f는 f의 변곡점에서 적어도 두 번 미분가능하다.
ㅌ. 정의역이 실수 전체의 집합인 미분가능한 함수 f에 대하여 f는 f의 변곡점에서 적어도 한 번 미분가능하다.
ㅍ. 정의역이 실수 전체의 집합인 미분가능한 함수 f에 대하여 f가 구간 (a, b)에서 단조증가하면 그 구간에서 f' > 0이다.
ㅎ. y = x^(2/3)은 변곡점이 존재하지 않는다.
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ㅋ, ㅌ 보기의 미분가능 조건을 연속으로 수정합니다.
ㄴ은 종이에 적어봐야 알겠어서 일단 넘기고
ㄷ ㅂ는 맞고
ㄱ ㄹ ㅁ 틀림
너무 많아서 차차 댓 남김
ㄹㅁ은 미분계수는 존재하지않지만 x=0이라는 접선이 존재한다고 볼수 있을것 같습니다.
마치 y=x^3의 x=0에서의 접선이 x축인것처럼 y축 또한 접선이 될수있습니다.
다만 좌측접선이 존재하지 않기때문에 "접선"이라는 용어가 혼란을 줄 수 있을 것 같습니다. 적어도 우측접선은 존재합니다.
같은의미로 ㄷ또한 미분계수가 없더라도 접선은 존재할수있습니다. 우측접선과 좌측접선의 의미에서 각자 존재할수 있다고 보되, 두개가 다를수 있다 이죠.
접선을 한쪽미분계수만으로 정의할 수 있나요? 적어도 스튜어트미적분학 범위 내에서는 미분계수가 존재해야해서 여쭤봅니다
아마 스튜어트 미적분학에선 일반론적인 얘기를 하기 위해 그렇게 정의를 했을거고, 만약 좌측접선과 우측접선을 나누어서 생각해야하는 논제에 대한 논문이 있다면 따로따로 정의를 할 것 같습니다. 사실 정의라는게 적어도 수학에선 필요에따라 조금씩 달라질수 있거든요. 마치 현재 고등교육과정에선 정적분의 정의가 구분구적법이아닌 미적분학의 기본정리로 되어있는것 처럼요
토마스 칼큘러스에서는 Vertical Tangent가 존재하려면 좌우 미분계수가 같은 방향으로 발산해야 함을 명시하고 있습니다. x^(1/3)은 모두 양의 무한대로 발산하지만 x^(2/3)은 하나는 양의 무한대, 하나는 음의 무한대로 발산하므로 vertical tangent가 존재하지 않습니다.
음수 x에대하여 x^2/3은 어떻게 정의를 한건가요? (x^2)^1/3을 전제로 한 지수함수로 받아들이나요? 그렇다면 미리 문제에 적어두시면 더 좋았을것이라 생각됩니다! 전 당연히 x가 양수일때만 생각했거든요
ㅅ 맞음 ㅇ 모름 ㅈ 틀림 ㅊ 맞음 ㅋ 틀림
ㅋ : 변곡점의 정의는 미분계수의 부호가 바뀌는 점이라서 두 번 미분가능하다는 보장 없음
ㅇ은 너무 손쉽게 y=k (x=1,2,...,n), x(else)면 충분할것 같습니다. ㅊ은 범위의 우측 끝, 혹은 좌측끝이 최댓값인경우 극댓값이 아니기 때문에 틀렸다고 보는게 맞습니다.
구간의 끝도 극값에 포함시키는지 아닌지는 서술한 책마다 달랐던걸로 기억합니다. 자세히 기억하지는 않지만 모 메가의대관 수리논술강사분께서 관련 글을 썼던것 같아요
책마다 정의가 다르게 적힐수도 있겠네요. 그렇다면 행당 문제의 답은 없다고 볼수 있겠네요
ㅌ, ㅎ 틀림
ㅍ는 끄적여봐야 알 듯
ㅍ 맞는 것 같음
(a b)에 속하는 점에 x에 대해
x+h, x-h (h>0)도 이 구간에 속한다고 가정하고
미분계수 정의에 넣어보면 맞는 듯
ㅍ 다시 생각해보세요.
힌트는 y=x^3입니다
f'=0 인 예외가 있다는 말이시죠?
넵
ㅎ은 두번 미분한 함수의 그래프가 부호가 바뀌거나, 또는 적어도 0이되는 점이 존재하지않기에 맞습니다.
혹여나 변곡점이 존재하지 않으니 틀렸다 라고 하신게 아닐까 걱정되는군요!
다시 보니 제가 변곡점 정의를 순간 극값 정의랑 혼동해서 풀었네요 틀린거 좀 있겠어요
ㄴㄷㅂㅅㅇㅊㅌㅎ 맞나요?
아깝습니다.
ㄴㄹㅁㅂㅅㅇㅎ
2개 틀렸습니다.
ㄴㄹㅂㅅㅇㅊㅌㅎ
아깝습니다.