수특에서 배울거리를 정리해보자 확통 12일차

아래는 오늘 문제인 수특 확통 56p Level3 3번입니다.

먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요.

두 사건 A, B가 서로 독립이 되기 위한 필충 조건은 P(A)P(B)=P(A∩B)입니다.(P(A), P(A)≠0일 때)

1부터 n까지 자연수 중 하나를 뽑는데

사건 A는 짝수를 선택할 사건이므로 n이 홀수, 짝수냐가 중요하고

사건 B는 6의 약수를 선택할 사건이므로 n이 6보다 크냐 그렇지 않냐가 중요합니다. 

n=2부터 n=6까지는 하나씩 살펴보고 6보다 클 때는 홀수 짝수 케이스를 분류하여 봐야함을 알 수 있죠. 

① n=2이면 2개 중 

짝수는 2로 1개 → P(A)=1/2

6의 약수는 1, 2로 2개 → P(B)=1

짝수인 6의 약수는 2로 1개 →P(A∩B)=1/2 따라서 독립O

② n=3이면 3개 중

짝수는 2로 1개 → P(A)=1/3

6의 약수는 1, 2, 3로 3개 → P(B)=1

짝수인 6의 약수는 2로 1개 →P(A∩B)=1/3 따라서 독립O

③ n=4이면 4개 중

짝수는 2, 4로 2개 → P(A)=1/2

6의 약수는 1, 2, 3로 3개 → P(B)=3/4

짝수인 6의 약수는 2로 1개 →P(A∩B)=1/4 따라서 독립X

④ n=5이면 5개 중

짝수는 2, 4로 2개 → P(A)=2/5

6의 약수는 1, 2, 3로 3개 → P(B)=3/5

짝수인 6의 약수는 2로 1개 →P(A∩B)=1/5 따라서 독립X

⑤ n=6이면 6개 중

짝수는 2, 4, 6로 3개 → P(A)=1/2

6의 약수는 1, 2, 3, 6로 4개 → P(B)=2/3

짝수인 6의 약수는 2, 6로 2개 →P(A∩B)=1/3 따라서 독립O

⑥ n이 6보다 큰 홀수 n=2k+1이면

짝수는 k개로 → P(A)=k/(2k+1)

6의 약수는 1, 2, 3, 6로 4개 → P(B)=4/(2k+1)

짝수인 6의 약수는 2, 6로 2개 →P(A∩B)=2/(2k+1) 따라서 독립X

(P(A)P(B)=P(A∩B)이려면 k/(2k+1)=1/2=k/2k 이므로 2k+1=2k가 되어 모순)

⑦ n이 6보다 큰 짝수 n=2k이면

짝수는 k개로 → P(A)=1/2

6의 약수는 1, 2, 3, 6로 4개 → P(B)=4/2k

짝수인 6의 약수는 2, 6로 2개 →P(A∩B)=2/2k 따라서 독립O

독립이 되는 n을 작은 것부터 20개 더하면

2+3+6+8+10+ ... +40인데 여기서 3을 3=4-1로 바꾸어

2부터 40까지 짝수 20개 더한 후 1을 뺴면

2(1+2+3+4+...+20)-1=419가 됩니다.  

봐주셔서 감사하고요

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[수특 수1에서 배울거리를 정리해보자]

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