[박재우T] 다르부 정리와 도함수의 연속성
게시글 주소: https://orbi.kr/00039765358
안녕하세요 박재우 T입니다.
라스트 스퍼트 강의 시작했습니다.
저를 아는 학생들 모두 라스 선택하면 후회없을 거라 확신합니다.
열심히 달려봅시다.
이제 본론으로 들어가서
이전에 한 번 언급했던 적이 있었습니다.
도함수가 연속인지 아닌지 모르는데 도함수에서 사잇값 정리를 쓸 수 있느냐는 문제입니다.
결론부터 얘기하자면 쓸 수 있다 입니다.
물론 이와 같은 주제와 연관된 과거 기출문제는 수업시간에 다루면 안되겠죠 ?
당위성을 위해서 설명해야 하는 것이 대학과정 개념이라면 출제해서는 안됩니다.
그냥 쓸 수 있다라고 단정하고 지나가는 것도 물론 안되구요.
그래서 저는 강의에서 롤의 정리에 대해 많이 강조합니다.
암튼
도함수가 불연속일 수 있음에도 도함수에서 사잇값 정리를 쓸 수 있다는 것을
가능하게 해주는 것이 바로 다르부 정리입니다.
한 번 알아보도록 하죠.
우선 함수 중에서 미분가능하지만 도함수는 불연속인 함수로 거론되는
대표적인 함수가
입니다. 이 함수는 x=0에서 미분가능하지만 도함수는 x=0에서 자명하게 불연속입니다.
이 함수의 경우처럼 도함수가 불연속인 함수는 사잇값 정리를 도함수에서 제약없이 막 쓸 수가 없겠죠
이제 다르부 (Darboux) 정리에 대해 알아봅시다.
<Darboux 정리>
함수 f(x)가 폐구간 [a, b]에서 미분가능하고 구간 양 끝점인 a와 b에서의 미분계수가 다르면
f'(a)와 f'(b) 사이의 임의의 값 k에 대해서 f'(c)=k 를 만족시키는 점 c가 개구간 (a, b)에서 존재한다.
아래 부분은 스킵해도 됩니다. 관심있는 분들만 보셔도 됩니다.
이제 증명 한 번 해보면
인 경우를 생각해봅시다.
폐구간 [a, b]에서 정의된 함수
라 정의하면 명백히 g는 폐구간 [a, b]에서 연속이면서 미분가능합니다.
그러므로 연속성의 정리에 따라 g는 [a, b] 위에서 최솟값 g(c)를 갖습니다.
즉, [a, b] 에서의 모든 x에 대하여
를 만족시키는 c가 폐구간 [a, b]에서 존재합니다.
그런데.
이 되므로 함수 g(x)는 x=a에서 감소상태에 있습니다. 그러므로
를 만족하는 점 d가 폐구간 [a, b]에서 존재합니다. 이제 마찬가지로
이 되므로 함수 g(x)는 x=b에서 증가상태에 있습니다. 그러므로
를 만족하는 점 e가 폐구간 [a, b]에서 존재합니다.
따라서, 점 c는 개구간 (a, b)에서의 원소이고 구간에서 g(c)는 최솟값이므로
구간 내에서 극대, 극소를 갖고 미분가능하면 자명하게
즉,
입니다. 같은 방법으로
도 증명해볼 수 있습니다.
이러한 이유로 정의한 구간 내에서 f의 도함수가 연속함수가 아닐 지라도 연속함수의 경우와 마찬가지로
f의 도함수에 대한 사잇값 정리가 성립함을 알 수 있습니다.
머가 먼지도 모르겠고 그냥 그렇다고 하니깐 쓰자라는 것 보다는
아예 애시당초 이런 문제는 안 내는 것이 상책이라 생각합니다.
그래서 롤의 정리가 수능에서는 더욱 더 깊이 있게 다가오는 것이 아닐 까 생각합니다.
물론 요즘은 잘 안나오는 주제이긴 하지만서두요.
아래 기출 문제를 한 번 봅시다.
다들 아시겠지만 여기 ㄷ지문은 롤의 정리가 더 좋지 않을까요 ?
두서없는 글 죄송합니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
1컷 왔다갔다 하는 실력이에요 듣기는 안틀리고 보통 시간이 부족해서 36~39중에...
-
처량하다 ㅜㅜ 기숙사 바로 앞 학식은 5500원이어도 맛대가리 없어서 자전거로 5분...
-
아님 걍 평가원을 할까 고민됨요...
-
지인선 엔제 풀어보신분들 1회차 난이도 어때요? 12번 왤케 어려움뇨? 0
아니 12,22번 뺘고 다품 근데 12번 이새기 a 양수 음수임지도 모르고 계산 대체 어케함
-
성심당 빵 사러 대전 왔는데 카이스트 캠퍼스 + 어은동쪽이나 충대 캠퍼스나 인근...
-
ㄹㅇ
-
수1 수2 확통 개념 자체가 하나도 안 되어 있는데 어느 강사 분 들어야할까요? 메가 있습니다
-
나나나나나나나 나나나나 헤이주드 나나나나나나나 나나나나 헤이주드 나나나나나나나 나나나나 헤이주드
-
1. 독서 문장 관형어, 부사어까지 정확히 읽어서 의미를 머리속에 박아넣는 연습을...
-
개강후기 0
다시 휴학하고픔
-
안 녕 하세요 ㅎㅎ
-
모두 동의하지만 건보료ㅜ올린다고하면 싫어하는 아이러니
-
국어가 크아악 일단 윤혜정의 기출의 나비효과 매3문 풀고 다 풀면 자이로 기출 돌려야지...
-
기분 묘하네... 등원첫날인데 한달 44만원이라는점이 모든 불만을 해소시킴 잇올 66만원은 진짜;;
-
예쁜 하늘 0
눈비 오고 맑게 게인 하늘
-
아ㅏㅏ 노베이스 탈출하고시퍼
-
다못생겼음 진짜... 차라리 학교책방 알바누나가 제일 이쁨
-
2 3
-
마딱이들 긴장해라 14
다이아의 악마가 간다.
-
I don't believe anymore your shallow heart 0
I know that it's you who choose to play this trick
-
수학질문받음 21
수능 논술 아무거나 괜찮음
-
오늘 개학 후기 2
수업을 엄밀하게 하지않으시는 선생님이 되게많다 담임쌤은 좋은분이시다 공부를 진짜...
-
그때는 한마디 없다가 다시 오르비 하는거 보니 참 기분이 안 좋네요
-
군대도 전역하고 이제 확실하게 루트 정해야 할 거 같은데 보통 요즘 선호도는 어떻게...
-
강아지 당근에 올림 10
76명이 찜해줬어여
-
메가패스 0
환급 신청 왜 안뜨나요..? 오늘부터라고 써있는데
-
‘잘 모르겠지만 적당히 식변형해볼까‘와 같은 헐렁한 접근으로는 최상위권이 되지 못한다
-
3시간 낮잠 완 2
-
번역일 여러건에 갑작스러운 전화통역에 눈보라 헤치고 도보로 이동하는 등 바빴지만...
-
자 드가자 2
오학끝
-
괜히뿌듯하네요 하하
-
작년꺼 모집요강 보니까 수시는 다 뽑는거 같던데 정시는 아얘 없더라고요 혹시 정시는...
-
토익을 또 쳐? 1
당장 3/9에 있는 시험 봐야할거 같은데 (낼 까지 추가접수) 730이상 받아야함...
-
"일이 잘 안될 수는 있어 근데 안되는 원인은 대부분 네 탓이야"
-
아 내 1년.. 내 사회성..내 공부시간
-
감기 걸렸아요 2
-
. 6
.
-
기업회생 신청 ㄷㄷ "홈플러스는 2022년 2월로 끝나는 회계연도부터 지난해...
-
ㅋㅋㅋㅋ 5
계좌에 주석님 방문했다
-
갈 학교가 없는데 무슨 말을 하겠어요
-
이거랑 안 맞으면 성사 잘 안 되너요? 제안 막 눌러봐도 되나
-
아니면 걍 스킵해도 되냐 절때 티원 콜라보라서 그런거 아니라 상식적으로 시간이 없잖아
-
궁금하다...
-
10시에 끝났ㄴ,ㄴ데 너무 기빨려서 스카서 계속 잠...
-
진지하게 인강사이트 들어가서 뭐들을지 고민중이다
-
분명 나도 ot를 갔는데 역시 도태한남... 아
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.