[박재우T] 다르부 정리와 도함수의 연속성
게시글 주소: https://orbi.kr/00039765358
안녕하세요 박재우 T입니다.
라스트 스퍼트 강의 시작했습니다.
저를 아는 학생들 모두 라스 선택하면 후회없을 거라 확신합니다.
열심히 달려봅시다.
이제 본론으로 들어가서
이전에 한 번 언급했던 적이 있었습니다.
도함수가 연속인지 아닌지 모르는데 도함수에서 사잇값 정리를 쓸 수 있느냐는 문제입니다.
결론부터 얘기하자면 쓸 수 있다 입니다.
물론 이와 같은 주제와 연관된 과거 기출문제는 수업시간에 다루면 안되겠죠 ?
당위성을 위해서 설명해야 하는 것이 대학과정 개념이라면 출제해서는 안됩니다.
그냥 쓸 수 있다라고 단정하고 지나가는 것도 물론 안되구요.
그래서 저는 강의에서 롤의 정리에 대해 많이 강조합니다.
암튼
도함수가 불연속일 수 있음에도 도함수에서 사잇값 정리를 쓸 수 있다는 것을
가능하게 해주는 것이 바로 다르부 정리입니다.
한 번 알아보도록 하죠.
우선 함수 중에서 미분가능하지만 도함수는 불연속인 함수로 거론되는
대표적인 함수가
입니다. 이 함수는 x=0에서 미분가능하지만 도함수는 x=0에서 자명하게 불연속입니다.
이 함수의 경우처럼 도함수가 불연속인 함수는 사잇값 정리를 도함수에서 제약없이 막 쓸 수가 없겠죠
이제 다르부 (Darboux) 정리에 대해 알아봅시다.
<Darboux 정리>
함수 f(x)가 폐구간 [a, b]에서 미분가능하고 구간 양 끝점인 a와 b에서의 미분계수가 다르면
f'(a)와 f'(b) 사이의 임의의 값 k에 대해서 f'(c)=k 를 만족시키는 점 c가 개구간 (a, b)에서 존재한다.
아래 부분은 스킵해도 됩니다. 관심있는 분들만 보셔도 됩니다.
이제 증명 한 번 해보면
인 경우를 생각해봅시다.
폐구간 [a, b]에서 정의된 함수
라 정의하면 명백히 g는 폐구간 [a, b]에서 연속이면서 미분가능합니다.
그러므로 연속성의 정리에 따라 g는 [a, b] 위에서 최솟값 g(c)를 갖습니다.
즉, [a, b] 에서의 모든 x에 대하여
를 만족시키는 c가 폐구간 [a, b]에서 존재합니다.
그런데.
이 되므로 함수 g(x)는 x=a에서 감소상태에 있습니다. 그러므로
를 만족하는 점 d가 폐구간 [a, b]에서 존재합니다. 이제 마찬가지로
이 되므로 함수 g(x)는 x=b에서 증가상태에 있습니다. 그러므로
를 만족하는 점 e가 폐구간 [a, b]에서 존재합니다.
따라서, 점 c는 개구간 (a, b)에서의 원소이고 구간에서 g(c)는 최솟값이므로
구간 내에서 극대, 극소를 갖고 미분가능하면 자명하게
즉,
입니다. 같은 방법으로
도 증명해볼 수 있습니다.
이러한 이유로 정의한 구간 내에서 f의 도함수가 연속함수가 아닐 지라도 연속함수의 경우와 마찬가지로
f의 도함수에 대한 사잇값 정리가 성립함을 알 수 있습니다.
머가 먼지도 모르겠고 그냥 그렇다고 하니깐 쓰자라는 것 보다는
아예 애시당초 이런 문제는 안 내는 것이 상책이라 생각합니다.
그래서 롤의 정리가 수능에서는 더욱 더 깊이 있게 다가오는 것이 아닐 까 생각합니다.
물론 요즘은 잘 안나오는 주제이긴 하지만서두요.
아래 기출 문제를 한 번 봅시다.
다들 아시겠지만 여기 ㄷ지문은 롤의 정리가 더 좋지 않을까요 ?
두서없는 글 죄송합니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
수학 커리를 어떻게 짤지 고민입니다. 작수에선 21 22 30 틀려서 미적분 1등급...
-
-
반수 불안.. 0
쌩재수하기엔 재수학원 비용도 부담되고 집에선 공부할 환경이 안돼서 기숙사 하나만...
-
-
계속 사먹으면 결국 탄수화물밖에 안 먹게 되는 듯.. 근데 또 혼자 요리해 먹으면 설거지하기 귀찮고
-
개강병은공주병 0
세상이나만억까하는비련의여주인공이된기분매일매일졸린잠자는숲속의공주가된기분그냥개강은공주공주병
-
못참겟네
-
잠안와 1
윽
-
번호순으로 앉았는데 교탁 바로 맨앞자리입니다.... 원래 허락 안 받고 걍 조용히...
-
라면 뿌셔먹기 0
-
수특연계로 실모에 넣을려다가 실패한
-
팬이에요 3
-
잠이나 자야지
-
ㅇㅈ 9
-
배고파서 울엇어 2
엉엉
-
통안에 선풍기랑 휴지를 넣고 진공상태로 만든뒤 선풍기를 키면 휴지가 날아갈까?
-
바쁘다바빠 알바도 해야하고 휴
-
이젠 어떻게 해야 좀 나아지고 조금이라도 행복해질지도 모르겠고 과연 그게 있다고해도...
-
SSD 두개 꽂고 나서 더 필요하면 HDD 하나 더 꽂을 수 있음 걍 자료 정리나...
-
"신입생이 단 1명" 쓸쓸한 입학식…'0명' 문닫은 학교도 7
저출산에 따른 학령인구 감소로 전국 초등학교 곳곳에서 쓸쓸한 입학식을 열었다....
-
근데 이거 약간 이상하게 개조한놈이라 내가 램을 뭘 꽂았길레 24기가인거지...
-
1년이 장난도 아니고
-
왜 나는 1
하고싶은거만 하려그러지ㅠ
-
홈스윗홈우ㅜ 1
ㅇ이야ㅑㅑ
-
프리이 1
한 삶이구나
-
1.미친개념 끝나면 뭐 해야되나요 ? 한완기 스탭1 미친기분 시작편 3회독 한상태로...
-
내신러이고 최저부담 없는데 수능 국어 1등급~만점받고 싶다는 목표가 생겨버림....
-
요즘 충전기 캐빡치네 17
왜 죄다 C to C인거임 대체 어따가 써먹으라고 이시ㅂ
-
우우 9
-
너무 기분좋음 0
몇년 된 친구를 좋아하는데 그 친구가 사랑한대요 아무 뜻 없이 한 말인거 아는데도 설레고 기쁘다
-
반수할까 0
단천 자전인데 광주사람이라 4인1실 긱사 사는데 룸메도 그냥 그렇고 친구도 없고...
-
개강천날 술자리라니
-
잠이안와 0
망해버렸다
-
이를 어쩌면 좋을까 허허.. 수송 꿀 맞겠지???!
-
지구 심화 0
이훈식 솔텍이랑 박선 코어특강 엄기은 Deep 중에 어떤거 할까요?
-
오야스미 2
네루!
-
친구가 없으니 자꾸 오르비하네
-
전북네컷씨는없어지고비상식량씨는살아있구나
-
Be my weekend lover but don't be my friend
-
연?애 8
ㅔ? 그 뭐 때되면 하는거지뭐
-
지리는 필드 0
제리 살해자
-
돈말고 병원부조리로 약코하는게 훨씬와닿을꺼같어 근데 이게 약코인가? 팩트인데
-
원장쌤 젊고 잘생기고 젠틀하고 치위생사분들도 다들 친절하시고 병원 무드도 좋고...
-
근데 대부분 남자들은 11
여친 어디서 구하는거임? 님들은 어디서 여친사귐? 대부분 초중고등학교 동창생이거나...
-
얼버기 4
반갑다리
-
노베사수생힘들다 3
ㅠㅠ내일은공부해야된다
-
-
현역 고3이고 고2 모고까지 거의 다 3~4였습니다 25수능도 집모 기준 못푼문제가...
-
잘생긴남자한테 사랑받으며
-
취했으묜 자라 4
네
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.