이 확률 문제의 풀이를 공모합니다.
여러분이 공정한 동전을 하나 갖고 있습니다.
동전의 앞면을 H, 뒷면을 T라고 합니다.
동전을 반복해서 던지면서 나온 면을 차례대로 기록해나갑니다.
(1) 기록의 마지막 네 글자가 THTH 가 되는 순간 던지기를 중단한다고 할 때, 평균적으로 몇 번째에 던지기가 중단되겠는가?
(2) 기록의 마지막 네 글자가 HTHH 가 되는 순간 던지기를 중단한다고 할 때, 평균적으로 몇 번째에 던지기가 중단되겠는가?
(3) 무한히 기록을 해 나갈 때, THTH 가 HTHH 보다 먼저 나올 확률은 얼마인가?
위의 세 문제의 답을 구하고 보면, 일종의 역설을 얻게 됩니다. 저명한 퍼즐리스트 마틴 가드너가 낸 문제라고 하네요.
제가 궁금한 것은, 이 문제를 고등학교 수준에서 풀 수 있는가 하는 점입니다. 만약 힘들다면, 최소한 다음 변형된 문제
(3') 무한히 기록을 해 나갈 때, THTH 가 HTHH 보다 먼저 나올 확률과 나중에 나올 확률 중 어떤 것이 더 큰가? 혹은 두 확률이 같은가?
에 답을 할 수 있을까요?
(물론 저는 답도 풀이도 알고 있습니다만, 고등학교 수준을 벗어난 풀이라서... 한마디로 '초등적인 풀이'가 가능하겠냐는 것입니다.)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
설경 특) 0
설경제 다니는 사람은 경제라고 하고 설경영 다니는 사람은 경영이라고 함 전 그냥...
-
발빠른 日…"손정의, 트럼프 만나 1,000억 달러 투자 발표" 0
[서울경제] 손정의 일본 소프트뱅크그룹 회장이 16일(현지 시간) 1000억...
-
맞팔구 뒷삭러들 0
검거 완.
-
서울아산병원서 국내 최초 생체 간이식 받은 아기, “30살 됐어요” 0
누적 생체 간이식 7000례 넘어 세계 최다 30년 전 선천성 담도 폐쇄증에 따른...
-
믿을만함?
-
요즘 되도록이면 잘안긁히려 노력했는데 요즘 난이도가 너무 높네
-
쬰아침 1
ㅇ
-
화력 무슨 일이야 다들! 비사아아아아앙!
-
웁스바리동동 어디선가 주워들은 거인데요를레이
-
돌려야지...
-
옯인싸 등장 5
늦잠 자따뇨잇웁스바리동동
-
대충 건국대 경희대 추합권인데 중앙대 낮과 스나해볼까
-
[고려대학교 25학번 합격] 합격자를 위한 고려대 단톡방을 소개합니다. [클루x노크] 0
고려대 25학번 합격자를 위한 고려대 클루x노크 오픈채팅방을 소개합니다. 24학번...
-
아기 기상 5
부지런행
-
10분위면 못 받는거죠?
-
냐옹
-
고려대 연세대 0
고대 식자경 연대 문화인류 둘 중 어떤게 나은가요
-
부경은 ㄱㅊ은 학과는 어렵고 전충은 가고 싶은 학과 갈수 있어요 집은 강원도인데...
-
교통정리 끝까지 안하면 야수의 심장 갈기거나 후자를 기다리는중
-
3스나 장전인데 쓸곳이 안보이네
-
에바인가요?
-
진짜 잔다 2
ㅂ2
-
지역교과인데 작년 31명 모집에 20명 추합 올해 36명 모집이고 예비 26번입니다
-
곧 해탈하나? 1
성인군자로 전직
-
뭐지 일주일 내내 이럼
-
그냥 부산대 갈까 고민중
-
옯서운 사실 5
난 우리학교 문과에서 수능 1등이다 우리 학교 문과에는 서울대 수시 합격생이 있다
-
고대는 환4중 하나고, 한양대는 인터칼리지 자연계열, 성대는 전기전자입니다. 셋 중...
-
-
그냥 더 잘게요 7
이따가 피복 반납해야함
-
-
공부에 그렇게 열정적이지 못한 한 해를 보내고 그렇게 행복한 하루하루를 보내지...
-
추합 D-2인가 16
제발
-
그래도 1달만에 2등급이나 올리다니..
-
유빈이 왜 쓰는지 알 것 같기도
-
ㅈㄱㄴ
-
예비고2인데 과중이라 과탐을 다 하거든여 그래서 최대한 개념을 빨리 떼야하는데 인강...
-
얼버기 12
조은아침
-
-
몸 버그 걸렸나 3
남들은 밤새도 말짱하다던데 난 왜 5시간 밑으로 자면 심장이 아프냐
-
가슴 또 아프네 1
그냥 더 잘까
-
담배를 벅벅 3
(비흡연자)
-
어디가 더 좋나요??
-
. 0
.
-
쌩노베였고 6월에 공부시작했는데 적성 맞아서 운좋게 1 1 나옴 근데 다른 과목은...
-
밸겜 1
.
-
ㅈㄱㄴ
-
우하하하하 5
반장님 감사합니다~
-
우울하네요
-
합격증만 찍어서 올리면 되는 거 아닌가요?
THTH 가 발생하는 회차의 기댓값은 20 일 듯 하고,
HTHH 가 발생하는 회차의 기댓값은 18일 듯 한데... 계산은 직관적이라 쓰기가 좀 어렵네요.
위의 결과를 보면 HTHH 가 먼저 나올 확률이 클 듯 한데, 결과를 구해보면 오히려
THTH 가 먼저 나올 확률이 9/14 이고, HTHH 가 먼저 나올 확률이 5/14 가 되서...
THTH 가 먼저 나올 확률이 더 크군요.
풀이방법은 유향그래프와 무한등비급수를 이용했습니다.
직관적이라도 좋습니다. 모두 정답이니까요. 어떻게 계산하셨는지 설명을 부탁드려도 될까요?
적기가 어려워서 맨 위에 하나(THTH)만 간단히 적어보겠습니다.
처음 상태를
라고 합니다.
상태에서는 H 또는 T 가 나올 수 있는데, H 가 나오면 아무런 도움이 안되므로 그냥 처음 상태와 같습니다.즉,
상태에서는 각각 1/2 의 확률로상태로 남거나 상태로 이동합니다.
상태로 이동합니다.
상태에서는 1/2의 확률로 상태에서는 같은 방법으로 하면 1/2 의 확률로 상태로 남거나
상태로 되거나 상태로 됩니다.
상태에서는 1/2의 확률로 상태로 되거나 상태로 됩니다.
이제까지 결과를 이용하여 각 상태를 꼭짓점으로 유향그래프를 그릴 수 있고,
상태에서 상태가 되는 데 까지의 회수의 기댓값은 2 상태가 되는 데 까지의 회수의 기댓값은 2
상태에서 상태가 되는 데 까지의 회수의 기댓값은 6
상태에서
상태에서 상태가 되는 데 까지의 회수의 기댓값은 10
이 되어, 기댓값 20을 구한 것입니다. 각각의 기댓값은 무한등비급수 형태로 계산했고요.
오오, 상당히 재미있는 풀이네요.
우선 확률공간 {S, T, TH, THT, THTH} 와 {S, H, HT, HTH, HTHT} 각각에 대한 전이행렬 A를 구하고,
A + 2A^2 + 3A^3 + 4A^4 + ... = A(I - A)^-2
를 구해서 초기상태를 먹이니까 정말로 최초 출현 시점의 기대값이 나오네요. 그리고 확률공간 {S, T, H, TH, HT, THT, HTH, THTH, HTHH} 에 대한 전이행렬 A를 구해서
A + A^2 + A^3 + A^4 + ... = A(I - A)^-1
을 구하고 초기 상태를 먹이니까, THTH 로 끝날 확률과 HTHH 로 끝날 확률이 나오는군요.
원래 제가 아는 풀이법은 stopped martingale을 이용하는 방법이라, 확률미적분(stochastic calculus)에 대한 기본 지식이 없으면 쓰질 못했거든요...
좋은 풀이 배워갑니다.