문제하나만 풀어주세요 ㅠㅠ수학 ㅠㅠ
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예전에어떤분이투척하거같은데 ㅠㅠ
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님 공부잘하고계셨나요 ㅋㅋ 전 오늘에서야 적분을 끝냈답니다....... 하하..
잘못하고있어요 불안함
힘내세요 ㅠㅠ 님 왠지 작년에 수리때문에 피보셨을듯... 아닌가.. 무튼 이번엔 ... 대박치세요 ㅠ 전 이미 망한듯
외국어에서멘탈붕괴하고 사탐망했죻ㅎㅎㅎㅎ헿ㅎ ㅠㅠ
흑흑 이번 원서영역 왠지 .... 정말 극과극의 결과들이 나올듯하지않나요 ㅠ
수능끝나고 쪽지드릴게요 ㅠ 궁금할것같네요 님결과 ㅠ
ㅋ망할듯여 ㅠ
원서영역은언제나중요 ㅋ..
그냥 밑에 lim구간에서 f(2^n - 1)로 이루어 진걸로 봐서 f(2^n - 1)이 어떤 규칙성이 존재하는 수열이겠죠??
여기서 발견적추론 문제 풀듯 풀면 될듯요 ㅋㅋ 나열해도 되고요 ㅋㅋ
님죄송 문제바낌 ㅋㅋ ㅠㅠ
어? 님 언제 컴백하셨어요? ㅋㅋ
ㅋㅋㅋㅋ 그냥 밤에 잠깐씩 들리려구요 ㅋㅋㅋㅋ
환영환영 상처받지마세옄ㅋㅋㅋ 이제 항상추천만할게요
원래 상처같은건 업었어욬ㅋㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋㅋㅋ
걍 x^2 - x - a =0에서 양의 실근
그렇게말고 점화식으로 푸는방법은 음슴??
점화식은 흠......... 최소한 고등범위내론 못풀듯........ 그냥 아니면 저 수열은 함수식 y=sqrt(x+a)로 고쳐서 y=x와 만나는점 찾는 방식으로 생각해도 될듯
고등 학교 과정의 개념만을 사용해서 풀 수는 있습니다. 아래처럼요.
다만, 아래와 같은 사고 과정을 생각해 내기는 쉽지 않다고 봅니다.
x^2 - x - a = 0의 양의 실근을 r이라고 해 봅시다. 그러면, y = sqrt ( x+a )와 y=x의 만나는 점을 이용하든, lim a_n이 존재한다는 가정 하에서 점화식의 양변에 lim을 씌우든, lim a_n이 r이라는 '추측'을 할 수 있습니다. 이제, 이 추측을 증명해 봅시다.
우선, a_0 = r일 때는 당연히 성립합니다. 이제, a_0이 r이 아닐 때, 위의 추측을 증명하여 보겠습니다. 위의 추측은
lim ( a_n - r ) = 0
과 동치입니다. 점화식에서 a_(n+1) - r = sqrt(a_n + r) + sqrt(a + r)임을 알 수 있고 우변을 유리화하고 정리하면
{ a_(n+1) - r } / ( a_n - r ) = 1 / { r + sqrt( a + a_n ) }
입니다. 그런데 r = 0.5 + sqrt( 0.25 + a) > 0.5 + sqrt(0.25) = 0.5 + 0.5 = 1이므로, r>1이고, 1 / { r + sqrt( a + a_n ) } 이 항상 1보다 작다는 것을 알 수 있습니다. 또한 a_n>r이면 a_(n+1)>r이고, a_n
위와 같이, a_n의 극한값을 대략 추측한 다음, 그 극한값이 맞다는 것을 수학적으로 보여 줄 수 있는 경우가 많습니다. 즉 lim a_n = r이라는 것을 증명한다는 것인데, 이를 직접 증명하는 것보다는 a_n - r이 0으로 수렴한다는 것을 증명하는 것이 쉬워요. 수열 a_n - r을 살펴보면, a_n - r의 부호가 일정하면서 절댓값이 계속 감소하거나, 부호가 교대로 바뀌면서 절댓값이 계속 감소하는 경우가 대부분일 겁니다. 이 정도에서도 '수렴한다'라고 결론을 내릴 수 있기는 하지만, 확실하지는 않고, 확실하게 증명하려면, 우리가 가장 잘 아는 무한수열인 무한등비수열과 비교해서 a_n - r이 0으로 수렴한다는 것을 보이면 됩니다.
헉 자고일어나니 엄청난답변이달녔네요 감사합니다ㅜㅜ 정확한증명을해주셨네요ㅜㅜ
ㅋㅋㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋㅋㅋ 터졌네요..
역시 나카렌님
위와 같이 풀고 싶지 않다면, 다음의 명제 하나를 새롭게 증명 없이 받아들이면 됩니다.(이는 대학교 과정입니다만, 읽어보면 직관적으로 당연하다는 것을 알 수 있을 겁니다.) 모든 자연수 n에 대하여 a_n < a_(n+1) < M 이면, a_n은 수렴합니다. 이에서 모든 자연수 n에 대하여 a_n > a_(n+1) > m 이면 a_n이 수렴한다는 것도 알 수 있습니다.
이를 위의 문제에 적용해 보겠습니다. x^2 - x - a = 0의 양의 실근을 r이라 하면, a_0 = r이면 항상 a_n = r이므로 lim a_n = r입니다. a_0 < r이면 항상 a_n < r이면서, a_n < a_(n+1)이므로(부등식을 이용하거나 그래프를 이용하면 알 수 있습니다) a_n은 수렴하고, a_0 > r일 때에는 항상 a_n > r이면서 a_n > a_(n+1)이므로(앞의 경우와 동일) a_n은 수렴합니다. 이제 어떤 경우에서든 a_n이 수렴한다는 것을 알게 되었으므로, 점화식의 양변에 lim을 취하면 됩니다.
첫 번째 문제 끌리네요. 계산해보니까 2/3 이 나오긴 하는데, 이걸 고등학교 과정에서 풀 수 있는지는 모르겠군요...
쉬운 방법이 있는데 제가 못 알아보는건지는 모르겠지만;;;
1 번 문제 >
(n+1)^2 - (n+1) + 1 = n^2 + n + 1 이라는 사실을 이용하면, 위 아래가 마구마구 약분 되어서 결국
분자는 1×2×(n^2 + n + 1) 만 남고, 분모는 n×(n+1)×(2^2 - 2 + 1) 만 남습니다. 그러므로 극한은 2/3 입니다.
< 2 번 문제 >
L 의 값을 ( 1 + 루트(1+4a) ) / 2 라고 두면, L 의 값은 1 보다 큰 상수이고, L^2 = L + a 를 만족합니다.
L - a_{n+1} = 루트(L + a) - 루트(a + a_n) = ( L - a_n ) / ( 루트(L + a) + 루트(a + a_n) ) < ( L - a_n ) / 루트(L)
을 이용하면 {a_n} 이 L 로 수렴한다는 사실을 알 수 있습니다.
호오, 재미있는 풀이네요 =ㅁ=b
sos440 님 에게서 무려 b 학점을 받다니.....감사합니다. ^o^