2024학년도 대학수학능력시험 문제지

수학 영역

5 지 선 다 형

12

제 2 교시

[eqn: root {3} of {24} TIMES 3 ^{{2} over {3}} `]의 값은? [2점]

① [eqn: rm 6]	② [eqn: rm 7]	③ [eqn: rm 8]	④ [eqn: rm 9]	⑤ [eqn: rm 10]

[eqn: lim _{x`` rarrow ``0} {} {ln` LEFT ( 1+3x RIGHT )} over {ln` LEFT ( 1+5x RIGHT )} `]의 값은? [2점]

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {2} over {5}]	③ [eqn: {3} over {5}]	④ [eqn: {4} over {5}]	⑤ [eqn: rm 1]

함수 [eqn: f`(x)=2x ^{3} -5x ^{2} +3]에 대하여 [eqn: lim _{h`` rarrow ``0} {} {f LEFT ( 2+h RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT )} over {h} `]의 값은? [2점]

1

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]	④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

함수

[eqn: f`(x)= {cases{pile{#} 3x-a&&LEFT ( x<2 RIGHT )#pile{#} x ^{2} +a&&LEFT ( x GEQ 2 RIGHT )}}]

가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]	④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

매개변수 [eqn: t ~ LEFT (t>0 RIGHT )]으로 나타내어진 곡선

[eqn: x= ln` LEFT ( t ^{3} +1 RIGHT )], [eqn: y=sin` pi t]

에서 [eqn: t=1`]일 때, [eqn: {dy} over {dx} `]의 값은? [3점]

① [eqn: -{1} over {3} pi]	② [eqn: -{2} over {3} pi]	③ [eqn: - pi]	④ [eqn: -{4} over {3} pi]	⑤ [eqn: -{5} over {3} pi]

다항함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: f` prime ( x ) =3x LEFT ( x-2 RIGHT )], [eqn: f`(1)=6]

을 만족시킬 때, [eqn: f`(2)]의 값은? [3점]

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]	④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

[eqn: {3} over {2} pi < theta <2 pi]인 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: sin`(- theta )= {1} over {3} `]일 때,
[eqn: tan` theta `]의 값은? [3점]

① [eqn: -{ sqrt{2}} over {2}]	② [eqn: -{ sqrt{2}} over {4}]	③ [eqn: -{1} over {4}]	④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: { sqrt{2}} over {4}]

그림과 같이 곡선 [eqn: y= sqrt {LEFT ( 1-2x RIGHT ) cosx} ~ LEFT ( {3} over {4} pi LEQ x LEQ {5} over {4} pi RIGHT ) `]와
[eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x={3} over {4} pi], [eqn: x= {5} over {4} pi `]로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 [eqn: x`]축에 수직인 평면으로
자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는? [3점]

① [eqn: sqrt{2} pi- sqrt{2}]	② [eqn: sqrt{2} pi-1]	③ [eqn: 2 sqrt{2} pi- sqrt{2}]

④ [eqn: 2 sqrt{2} pi-1]	⑤ [eqn: 2 sqrt{2} pi]

함수 [eqn: f`(x)= {1} over {3} x ^{3} -2x ^{2} -12x+4`]가 [eqn: x= alpha `]에서 극대이고
[eqn: x= beta `]에서 극소일 때, [eqn: beta - alpha `]의 값은? (단, [eqn: alpha `]와 [eqn: beta `]는 상수이다.)

[3점]

① [eqn: rm -4]	② [eqn: rm -1]	③ [eqn: rm 2]	④ [eqn: rm 5]	⑤ [eqn: rm 8]

등비수열 [eqn: LEFT { a _{`n} it RIGHT } `]의 첫째항부터 제[eqn: n`]항까지의 합을 [eqn: S _{`n} `]이라 하자.

[eqn: S _{`4} -S _{`2} =3a _{`4}], [eqn: a _{`5} = {3} over {4}]

일 때, [eqn: a _{`1} +a _{`2} `]의 값은? [3점]

① [eqn: rm 27]	② [eqn: rm 24]	③ [eqn: rm 21]	④ [eqn: rm 18]	⑤ [eqn: rm 15]

양의 실수 전체의 집합에서 정의되고 미분가능한
두 함수 [eqn: f`(x)], [eqn: g`(x)]가 있다. [eqn: g`(x)]는 [eqn: f`(x)]의 역함수이고, [eqn: g` prime (x)`]는 양의 실수 전체의 집합에서 연속이다.
모든 양수 [eqn: a`]에 대하여

[eqn: int _{1} ^{a} {} {1} over {g` prime LEFT ( f` LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) `f` LEFT ( x RIGHT )} `dx=2`ln`a+ln` LEFT ( a+1 RIGHT ) -ln`2]

이고 [eqn: f`(1)=8`]일 때, [eqn: f`(2)`]의 값은? [3점]

① [eqn: rm 36]	② [eqn: rm 40]	③ [eqn: rm 44]	④ [eqn: rm 48]	⑤ [eqn: rm 52]

삼차함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: xf` LEFT ( x RIGHT ) -f` ( x ) =3x ^{4} -3x]

를 만족시킬 때, [eqn: int _{-2} ^{2} {} `f(x)`dx]의 값은? [3점]

① [eqn: rm 12]	② [eqn: rm 16]	③ [eqn: rm 20]	④ [eqn: rm 24]	⑤ [eqn: rm 28]

실수 [eqn: t`]에 대하여 원점을 지나고 곡선 [eqn: y= {1} over {e ^{x}} +e ^{t} `]에 접하는 직선의 기울기를 [eqn: f`(t)`]라 하자. [eqn: f` LEFT ( a RIGHT ) =`-e sqrt {e} `]를 만족시키는 상수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: f` prime (a)`]의 값은? [3점]

① [eqn: -{1} over {3} e sqrt{e}]	② [eqn: -{1} over {2} e sqrt{e}]	③ [eqn: -{2} over {3} e sqrt{e}]

④ [eqn: -{5} over {6} e sqrt{e}]	⑤ [eqn: -e sqrt{e}]

수직선 위의 두 점 [eqn: rm P it LEFT ( log _{`5} `3 RIGHT )], [eqn: rm Q it LEFT ( log` _{5} `12 RIGHT )]에 대하여
선분 [eqn: rm PQ it `]를 [eqn: m`:` LEFT ( 1-m RIGHT ) `]으로 내분하는 점의 좌표가 [eqn: rm 1`]일 때, [eqn: 4 ^{m} `]의 값은? (단, [eqn: m`]은 [eqn: 0<m<1`]인 상수이다.) [4점]

① [eqn: {7} over {6}]	② [eqn: {4} over {3}]	③ [eqn: {3} over {2}]	④ [eqn: {5} over {3}]	⑤ [eqn: {11} over {6}]

공차가 [eqn: rm 0`]이 아닌 등차수열 [eqn: LEFT { a _{`n} it RIGHT } `]에 대하여

[eqn: LEFT | a _{`6} RIGHT | =a _{`8} `],  [eqn: sum _{k=1} ^{5} {1} over {a _{k} `a _{k+1}} = {5} over {96}]

일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{15} a _{`k} `]의 값은? [4점]

① [eqn: rm 60]	② [eqn: rm 65]	③ [eqn: rm 70]	④ [eqn: rm 75]	⑤ [eqn: rm 80]

시각 [eqn: t=0`]일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]의 시각 [eqn: t ~ LEFT (t GEQ 0 RIGHT )]에서의 속도가 각각

[eqn: v _{`1} (t)=t ^{2} -6t+5], [eqn: v _{`2} (t)=2t-7]

이다. 시각 [eqn: t`]에서의 두 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it] 사이의 거리를 [eqn: f`(t)`]라 할 때, 함수 [eqn: f`(t)`]는 구간 [eqn: [`0,``a`]`]에서 증가하고, 구간 [eqn: [`a,``b`]`]에서 감소하고, 구간 [eqn: [`b,`` INF )`]에서 증가한다. 시각 [eqn: t=a`]에서 [eqn: t=b`]까지 점 [eqn: rm Q it `]가 움직인 거리는? (단, [eqn: 0<a<b`]) [4점]

① [eqn: {15} over {2}]	② [eqn: {17} over {2}]	③ [eqn: {19} over {2}]	④ [eqn: {21} over {2}]	⑤ [eqn: {23} over {2}]

그림과 같이

[eqn: {bar{rm AB it}} `=3],  [eqn: {bar{rm BC it}} `= sqrt {13}],  [eqn: {bar{rm AD it}} TIMES {bar{rm CD it}} `=9],  [eqn: ANGLE rm BAC it `= {pi } over {3}]

인 사각형 [eqn: rm ABCD it `]가 있다. 삼각형 [eqn: rm ABC it `]의 넓이를 [eqn: S _{`1} `],
삼각형 [eqn: rm ACD it `]의 넓이를 [eqn: S _{`2} `]라 하고, 삼각형 [eqn: rm ACD it `]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R`]이라 하자.
[eqn: S _{`2} = {5} over {6} S _{`1}]일 때, [eqn: {R} over {sin` LEFT ( ANGLE rm ADC it RIGHT )} `]의 값은? [4점]

① [eqn: {54} over {25}]	② [eqn: {117} over {50}]	③ [eqn: {63} over {25}]	④ [eqn: {27} over {10}]	⑤ [eqn: {72} over {25}]

첫째항이 자연수인 수열 [eqn: LEFT { a _{`n} it RIGHT } `]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: a _{`n+1} = {cases{pile{#} 2 ^{a _{n}}&&LEFT ( a _{`n} 이~홀수인~경우 RIGHT )#pile{#} {1} over {2} a _{`n}&&LEFT ( a _{`n} 이~짝수인~경우 RIGHT )}}]

를 만족시킬 때, [eqn: a _{`6} +a _{`7} =3`]이 되도록 하는 모든 [eqn: a _{`1} `]의 값의 합은? [4점]

① [eqn: rm 139]	② [eqn: rm 146]	③ [eqn: rm 153]	④ [eqn: rm 160]	⑤ [eqn: rm 167]

함수 [eqn: f`(x)= {1} over {9} x LEFT ( x-6 RIGHT ) LEFT ( x-9 RIGHT ) `]와 실수 [eqn: t~ LEFT ( 0<t<6 RIGHT ) `]에 대하여 함수 [eqn: g`(x)`]는

[eqn: g`(x)= {cases{pile{#} f` LEFT ( x RIGHT )&&LEFT ( x<t RIGHT )#pile{#} - LEFT ( x-t RIGHT ) +f` LEFT ( t RIGHT )&&LEFT ( x GEQ t RIGHT )}}]

이다. 함수 [eqn: y=g`(x)`]의 그래프와 [eqn: x`]축으로 둘러싸인 영역의 넓이의 최댓값은? [4점]

① [eqn: {125} over {4}]	② [eqn: {127} over {4}]	③ [eqn: {129} over {4}]	④ [eqn: {131} over {4}]	⑤ [eqn: {133} over {4}]

두 자연수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 함수 [eqn: f`(x)`]는

[eqn: f` ( x ) = {cases{pile{#} 2x ^{3} -6x+1&&LEFT ( x LEQ 2 RIGHT )#pile{#} a LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-b RIGHT ) +9&&LEFT ( x>2 RIGHT )}}]

이다. 실수 [eqn: t`]에 대하여 함수 [eqn: y=f`(x)`]의 그래프와 직선 [eqn: y=t`]가
만나는 점의 개수를 [eqn: g`(t)]라 하자.

[eqn: g` LEFT ( k RIGHT ) + lim _{t`` rarrow ``k-} {} g` LEFT ( t RIGHT ) + lim _{t`` rarrow ``k+} {} g` ( t ) =9]

를 만족시키는 실수 [eqn: k`]의 개수가 [eqn: rm 1`]이 되도록 하는 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b`]의 순서쌍 [eqn: (a,``b)`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 최댓값은? [4점]

① [eqn: rm 51]	② [eqn: rm 52]	③ [eqn: rm 53]	④ [eqn: rm 54]	⑤ [eqn: rm 55]

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f`(x)`]가 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f`(x) GEQ 0`]이고, [eqn: x<0`]일 때 [eqn: f`(x)=`-4xe ^{4x ^{2}} `]이다.
모든 양수 [eqn: t`]에 대하여 [eqn: x`]에 대한 방정식 [eqn: f`(x)=t`]의 서로 다른
실근의 개수는 [eqn: rm 2`]이고, 이 방정식의 두 실근 중 작은 값을 [eqn: g`(t)`],
큰 값을 [eqn: h`(t)`]라 하자.
두 함수 [eqn: g`(t)], [eqn: h`(t)`]는 모든 양수 [eqn: t]에 대하여

[eqn: 2`g` LEFT ( t RIGHT ) +h`(t)=k`] ([eqn: k`]는 상수)

를 만족시킨다. [eqn: int _{0} ^{7} {} f` LEFT ( x RIGHT ) `dx=e ^{4} -1`]일 때, [eqn: {f` LEFT ( 9 RIGHT )} over {f` LEFT ( 8 RIGHT )}]의 값은? [4점]

① [eqn: {3} over {2} e^{5}]	② [eqn: {4} over {3} e^{7}]	③ [eqn: {5} over {4} e^{9}]	④ [eqn: {6} over {5} e^{11}]	⑤ [eqn: {7} over {6} e^{13}]

단 답 형

방정식 [eqn: 3 ^{x-8} = LEFT ( {1} over {27} RIGHT ) ^{x} `]을 만족시키는 실수 [eqn: x`]의 값을 구하시오.

[3점]

함수 [eqn: f`(x)= LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +3 RIGHT )]에 대하여 [eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) `]의 값을 구하시오.

[3점]

두 수열 [eqn: LEFT { a _{`n} it RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{`n} it RIGHT } `]에 대하여

[eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{`k} = sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 2b _{`k} -1 RIGHT )], [eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 3a _{`k} +b _{`k} RIGHT ) =33]

일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} b _{`k} `]의 값을 구하시오. [3점]

함수 [eqn: f(x)=sin {pi } over {4} x`]라 할 때, [eqn: 0<x<16`]에서 부등식

[eqn: f` ( 2+x ) f` ( 2-x ) < {1} over {4}]

을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: x`]의 값의 합을 구하시오. [3점]

양수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: x GEQ -1`]에서 정의된 함수 [eqn: f`(x)`]는

[eqn: f`(x)= {cases{pile{#} -x ^{2} +6x&&LEFT ( -1 LEQ x<6 RIGHT )#pile{#} a`log` _{4} ` LEFT ( x-5 RIGHT )&&LEFT ( x GEQ 6 RIGHT )}}]

이다. [eqn: t GEQ 0`]인 실수 [eqn: t`]에 대하여 닫힌구간 [eqn: [`t-1,``t+1`]`]에서의 [eqn: f`(x)]의 최댓값을 [eqn: g`(t)]라 하자. 구간 [eqn: [`0,`` INF )]에서 함수 [eqn: g`(t)]의 최솟값이 [eqn: rm 5`]가 되도록 하는 양수 [eqn: a`]의 최솟값을 구하시오. [4점]

[eqn: a> sqrt {2} `]인 실수 [eqn: a`]에 대하여 함수 [eqn: f`(x)`]를

[eqn: f`(x)=`-x ^{3} +ax ^{2} +2x]

라 하자. 곡선 [eqn: y=f`(x)`] 위의 점 [eqn: rm O it `(0,``0)`]에서의 접선이
곡선 [eqn: y=f`(x)`]와 만나는 점 중 [eqn: {rm{O}} it]가 아닌 점을 [eqn: rm A it `]라 하고, 곡선 [eqn: y=f`(x)`] 위의 점 [eqn: rm A it `]에서의 접선이 [eqn: x`]축과 만나는 점을
[eqn: rm B it `]라 하자. 점 [eqn: rm A it `]가 선분 [eqn: rm OB it `]를 지름으로 하는 원 위의 점일 때,
[eqn: {bar{rm OA it}} TIMES {bar{rm AB it}} `]의 값을 구하시오. [4점]

첫째항과 공비가 각각 [eqn: rm 0`]이 아닌 두 등비수열 [eqn: LEFT { a _{`n} it RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{`n} it RIGHT } `]에 대하여 두 급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{`n}], [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{`n} `]이 각각 수렴하고

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{`n} b _{`n} = LEFT ( sum _{n=1} ^{INF } a _{`n} RIGHT ) ` TIMES ` LEFT ( sum _{n=1} ^{INF } b _{`n} RIGHT )],

[eqn: 3 TIMES sum _{n=1} ^{INF } LEFT | a _{`2n} RIGHT | =7 TIMES sum _{n=1} ^{INF } LEFT | a _{`3n} RIGHT |]

이 성립한다. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {b _{`2n-1} +b _{`3n+1}} over {b _{`n}} =S`]일 때, [eqn: 120S`]의 값을 구하시오. [4점]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f`(x)`]의 도함수 [eqn: f` prime (x)`]가

[eqn: f` prime ( x ) = LEFT | sin`x RIGHT | cos`x]

이다. 양수 [eqn: a`]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)`] 위의 점 [eqn: (a,``f`(a))`]에서의 접선의 방정식을 [eqn: y=g`(x)`]라 하자. 함수

[eqn: h`(x)= int _{0} ^{x} {} LEFT { f` LEFT ( t RIGHT ) -g` LEFT ( t RIGHT ) it RIGHT } `dt]

가 [eqn: x=a`]에서 극대 또는 극소가 되도록 하는 모든 양수 [eqn: a`]를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, [eqn: n`]번째 수를 [eqn: a _{`n} `]이라 하자. [eqn: {100} over {pi } TIMES LEFT ( a _{`6} -a _{`2} RIGHT ) `]의 값을 구하시오. [4점]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1`]인 삼차함수 [eqn: f`(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

함수 [eqn: f`(x)`]에 대하여

[eqn: f`(k-1)f`(k+1)<0]

을 만족시키는 정수 [eqn: k`]는 존재하지 않는다.

[eqn: f` prime LEFT ( - {1} over {4} RIGHT ) `=`- {1} over {4}], [eqn: f` prime LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) `<`0`]일 때, [eqn: f`(8)`]의 값을 구하시오. [4점]